第27讲 导数中的数列不等式放缩问题-2024年高考数学一轮复习考点方法题型总结（新高考专用）

第27讲 导数中的数列不等式放缩问题 【考点分析】 由函数不等式化为数列不等式的方法 取： 则： 取：则： 题型一：指对数不等式化为数列不等式 【精选例题】 【例1】（多选题）建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【例2】已知函数，其中 (1)若函数的图象恒不在轴上方，求实数的取值范围； (2)证明：，其中． 【例3】已知函数. (1)若在上单调递增，求的值； (2)证明：（且）. 【例4】已知函数. (1)是的导函数，求的最小值； (2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数） 【例5】已知函数（）． (1)当时，试确定函数在其定义域内的单调性； (2)求函数在上的最小值； (3)试证明：（；）． 【例6】已知函数. (1)求的极值； (2)对任意的，求证：. 【例7】已知函数． (1)证明：； (2)证明：，． 【例8】已知函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【跟踪训练】 1.利用“”可得到许多与n（且）有关的结论①，②，③，④，则结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知函数． （1）若在，上恒成立，求实数的取值范围； （2）证明：． 3.已知. (1)证明：； (2)证明：时，. 4.已知函数，. (1)若存在极值，求的取值范围； (2)若，求的值； (3)对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 5.已知函数，且. (1)求实数的取值范围； (2)设为整数，且对任意正整数，不等式恒成立，求的最小值； (3)证明：. 6.设函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：当时，恒成立； (3)证明：当且时，． 7.已知函数 (1)判断函数的零点个数； (2)证明：当时，证明： 8.已知函数． （1）求函数的极值； （2）（ⅰ）当时，恒成立，求正整数的最大值； （ⅱ）证明：． 题型一：三角函数不等式化为数列不等式 【精选例题】 【例1】已知函数，. (1)证明：当时，； (2)若，求a的取值范围； (3)证明：. 【例2】已知函数. (1)若，求实数的值； (2)已知且，求证：. 【例3】已知函数. (1)求的极值； (2)求证：. 【跟踪训练】 1.已知函数，. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)已知，证明：. 2.已知函数． (1)证明：对恒成立； (2)是否存在，使得成立？请说明理由 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 第27讲 导数中的数列不等式放缩问题 【考点分析】 由函数不等式化为数列不等式的方法 取： 则： 取：则： 题型一：指对数不等式化为数列不等式 【精选例题】 【例1】建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】令，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，，故，当且仅当时等号成立，A选项：时不等式左右两端相等，故错误；B选项：将中的替换为，可得，当且仅当时等号成立， 令，可得，所以，故，其中， 所以，B正确；C选项：将中的替换为，显然，则， 故，当时，，故成立；当时，显然成立，故正确；选项：将中的替换为，其中，且，则，则，故，则，又，D错误.故选：BC． 【例2】已知函数，其中 (1)若函数的图象恒不在轴上方，求实数的取值范围； (2)证明：，其中． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）解：由函数的图象恒不在轴上方，且，即恒成立，即在上恒成立，令，可得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以， 即实数的取值范围为． （2）解：由（1）知，当时，，即，当且仅当时取等号，令，可得，所以，即当时，． 【例3】已知函数. (1)若在上单调递增，求的值； (2)证明：（且）. 【答案】(1)1；(2)证明见解析. 【详解】（1）函数，求导得，由于函数在R上单调递增，则恒成立