2.4.1圆的标准方程导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二上 数学 圆的标准方程学习指南 1. 【学习内容分析】 圆是大家熟悉的基本平面曲线，可以说圆是最简单的封闭“曲线形”、你们在初中已经学习过圆的一些性质.现在将在平面直角坐标系中研究圆，根据确定圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题.圆是解析几何中一类重要的曲线，是在你们学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中你们会进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础.对于知识的后续学习，具有相当重要的意义. 通过本节的学习，你们要掌握圆的标准方程和一般方程的基本知识，能根据圆心坐标和圆的半径熟练地求出圆的标准方程，能从圆的标准方程快速得出圆心坐标、半径，要能够根据具体条件，选择恰当方法，求出圆的标准方程. 2. 【学习目标】 1.掌握圆的标准方程，能根据条件求出圆的标准方程，提高运算能力，增强数形结合的意识； 2.经历圆的标准方程的推导过程，进一步探求用代数方法研究几何问题的基本思路，提高探索、推理能力、表达能力， 3. 【学习重、难点】 学习重点：解析法求圆的标准方程. 学习难点：解析法求圆的标准方程，圆的标准方程的应用. 4. 【知识准备】 （1）请写出直线的点斜式方程： （2）请写出直线的点斜式方程的推导过程： （3）请写出确定圆的几何要素： 5. 知识输入（知识的形成）【概念的形成】 【环节一】诱思 我们知道在日常生活中，圆的应用十分广泛，如每条通车隧道的隧道口就是一个半圆形，而在驾驶汽车通过隧道时，我们常常会看到一个限高的标志，这个限高的数据是如何得到的？我们如何从数学的角度给出合理的解释？请大家看以下问题. 图1 图2 问题1：如图1，已知隧道的截面是半径为5米的半圆，车辆只能在道路中间线的右侧行驶.一辆宽为3米、高为4.3米的货车能不能驶入这条隧道？ 任务1：请大家将这一现实生活问题抽象出对应的数学问题？ 任务2：请大家思考判断货车能否通过隧道的依据是什么？ 问题2：货车能否通过隧道实质上转化成什么数学问题进行研究的？ 　　【环节二】导学 问题3：我们知道，两点确定一条直线，一点和方向也能确定一条直线.什么样的条件确定一个圆呢？ 追问：也就是说圆上的点也随之确定，请问满足什么条件的点在这个圆上？你能写出圆的集合表示吗？ 问题4：请问你能否通过图形直观判断图中的点是否在这个圆上？ 追问：图象是最直观，形象的，但是可能会存在误差，当我们放大图象，就会发现这个点根本不在圆上.那么我们应该寻找一种更精确方法来研究他们之间的关系，对此，你有什么好办法吗？ 常规大小放大后 6. 知识加工（辨析，理解，深化）【概念的理解】 探究一：在平面直角坐标系中，一个点对应一个坐标，一条直线对应一个二元一次方程（不全为零），那么圆又对应怎样的方程？如何建立圆的方程？ 问题1：请总结出求直线方程的过程的基本步骤? 问题2：你能说出求直线的点斜式方程的本质是在求什么吗？ 问题3：类比求直线方程的步骤求圆的标准方程，我们需要怎么做？ 探究二：请在笔记本上画出一个圆（圆心位置，半径自定），建立相应平面直角坐标系，并尝试求出圆的方程. 圆的标准方程概念：方程 称为圆心 A，半径为r的圆的标准方程 问题4：请你类比直线方程的求解步骤，总结出求圆的标准方程的一般步骤吗？ 问题5：请仔细观察圆的标准方程，写成其在结构上的特征 减号 是________ 平方 是_______________ 是_______________ 的系数都是____ 7. 知识输出（学以致用）【概念的应用】 例1.写出圆心为，半径长为5的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上. 思考：点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？点在圆上的条件是什么？ 变式1：写出圆心在,且经过的圆的标准方程 变式2：判断是否为