第四章 指数与对数（压轴题专练）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第一册）

第四章 指数与对数（压轴题专练） 题型一　指数幂运算中的条件求值 【例1】已知a＋a＝4，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2． 思维升华 条件求值问题的常用方法 1整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值. 2求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果. 巩固训练 1．已知a＋a＝4，求a－a－1的值． 2．已知a＋a＝4，求a2－a－2的值． 3．已知x＋x＝，求x2＋x－2． 题型二　利用对数性质及对数恒等式求值 【例2】求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)x＝7． 思维升华 1．利用对数性质求解的2类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用 (1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． (2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数． 巩固训练 1．已知log2(ln x)＝1，求x的值． 2．已知log3(log2(lg x))＝0，求x的值． 3．已知3log3(log4(log5x))＝0，求x的值． 题型三　对数恒等式的应用 【例3】　log5(log3(log2a))＝0，计算的值． 思维升华 性质＝N与logaab＝b的作用 (1)＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． (2)性质logaab＝b的作用在于把任意一个实数转化为以a为底的对数形式． 巩固训练 1．已知＝3，求的值． 2．已知log8x＝，则x＝________. 题型四　对数的实际应用 【例4】一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留整数， lg 2≈0．301 0，lg 3≈0．477 1) 思维升华 解决对数应用题的一般步骤 巩固训练 1．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ表示鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ 2．2020年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2020年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 第四章 指数与对数（压轴题专练） 题型一　指数幂运算中的条件求值 【例1】已知a＋a＝4，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2． 【解析】　(1)将a＋a＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14． (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194． 思维升华 条件求值问题的常用方法 1整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值. 2求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果. 巩固训练 1．已知a＋a＝4，求a－a－1的值． 【解析】令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2， ∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a－1＝±8． 2．已知a＋a＝4，求a2－a－2的值． 【解析】由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112． 3．已知x＋x＝，求x2＋x－2． 【解析】将x＋x＝，两边平方，得x＋x－1＋2＝5，则x＋x－1＝3， 两边再平方，得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7． 题型二　利用对数性质及对数恒等式求值 【例2】求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)x＝7． 【解析】(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝51＝5． (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000． (3)x＝7＝7÷7log75＝7÷5＝． 思维升华 1．利用对数性质求解的2类问题的解法 (1)求多重对数式的值