2.2基本不等式导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一数学《精品教学案》 专心听讲，勤于思考。 《精品教学案》 及时复习，认真完成。 章节 2．2 课题 基本不等式 教 学 目 标 1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0)． 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最值问题． 3．通过基本不等式的推导，培养学生逻辑推理的核心素养． 通过求解最值问题，培养学生数学运算的核心素养． 教学重点 用不等式(组)表示不等关系，比较实数(式子)的大小。 教学难点 不等式性质及其应用 【新知探究】 一、基本不等式及两种证明方法 1．基本不等式：如果a>0，b>0，有≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的 ，叫做正数a，b的 ． 注意事项(1)正：a>0，b>0；(2)定：积是定值或和是定值；(3)等：等号一定能取到．三者缺一不可． 若不符合“正”,则用其相反数;不符合“定”，则凑出定积或定和;不符合“等”,则用函数的性质. 2． 证明方法：在数学证明中，为了找到证明的途径，根据思考时推理序列的方向不同，数学证明的方法可以分为分析法和综合法。所谓分析法，就是从结论出发，逆溯其成立的条件，再就这些条件分析研究，看它的成立又需要什么条件，继续逐步逆溯，直至达到已知条件为止，简称“执果索因”。而综合法正好与之相反，它是从题设出发，以已确立的定义、公理、定理、公式、法则等为依据，逐步展开逻辑推理，直到获得所要证明的结论，简称“由因导果”。通常用分析法寻找解题思路，用综合法叙述解题过程。简单的问题，往往直接应用综合法便可解决;复杂的问题，往往需要分析法和综合法的综合运用。分析法从要求解的结论出发，逐步寻找一系列的“须知”，思维具有目标性和方向性;综合法从已知条件出发，逐步推出一系列的“可知”，思维具有发散性和不确定性。当“须知”和“可知”相遇之后，便成功打通了一条解题通道。请用综合法和分析法分别证明上述基本不等式。 综合法证明： 分析法证明： 二、基本不等式的推论及应用 3．推论及证明：当a>0，b>0时，有以下结论 (1)a＋b≥2 证明：原式两边同乘以2得；(2)ab≤ 证明：原式两边平方得。 (3) ≤ 证明：将基本不等式≥取倒数，同乘以ab整理即得 (4)≥ 证明：由 ≤ ，≤得≤，变形即得 上述各不等式， 由推论4及重要不等式的推论2得：当a>0，b>0时， ≤≤ ≤ 其中，叫做正数a，b的 ，叫做正数a，b的 ． 4．应用： （1）利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创造应用基本不等式的条件． （2）在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值(后续章节学习)． 【典型例题】 例1.已知a>0，b>0，试用分析法证明下列不等式（1）≤，（2）≤。 例2.利用基本不等式求下列各式的最值 (1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值； (2)已知x>2，求y＝x＋的最小值； 高一数学《精品教学案》 班级 ，姓名 。 领先一步，领先一路。《精品教学案》 集思广益，共同进步。 (3)设0<x<，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；(4)已知x>0，y>0，且 ＋＝1，求x＋y的最小值． 例3.某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为s＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值是多少？ 【达标检测】 A组 1、若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　) A．25 B. C. D. 2、某种饮料分两次提价，提价方案有两