第2章 2.2.4 第1课时 均值不等式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（课件）

数学·必修第一册（配RB版 第二章等式与不等式 2.2.4均值不等式及其应用 ◆返回目录 课前案 0 目 课堂案 录 课后案 数学·必修 第一册（配RB版 学业标准 素养目标 1.会推导均值不等式，理解均值不等式 1通过均值不等式的推导，培养学生直 的几何意义. 观想象、数学抽象等核心素养 2.掌握均值不等式，明确等号成立的条 2.通过均值不等式的应用，培养学生逻 件及利用均值不等式求最值.（重点） 辑推理、数学运算等核心素养. 3.会用均值不等式证明不等式.（难点） ◆返回目录 3 数学·必修 第一册配RB版) 01 课前案必备知识·自主学习 。 ◆返回目录 4 数学·必修 第一册（配RB版 「教材梳理] 导学1均值不等式 ?问题1 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正 方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？ G F H A E b B ◆返回目录 5 数学·必修第一册（配RB版 [提示] 正方形的边长AB=Va2+b2,故正方形的面积为a2+b2,而四个直 角三角形的面积为2ab,故有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立.实际 上该不等式对任意的实数a,b都能成立. ◆返回目录 数学·必修第一册（配RB版 ?问题2 现在我们讨论一种特别的情况，如果a心0，b>0,我们用Va,V 分别替换上式中的a,b,能得到什么样的结论？ 提示]用Va,Vb分别替换上式中的a,b可得到a+b≥2Wab,当且仅 当a=b时，等号成立. 我们习惯表示成Vab≤a十b 2 ◆返回目录 数学·必修第一册（配RB版 ◎结论形成 算术平均值 给定两个正数a,b,数十h 2 称为a,b的算术平均值 几何平均值 给定两个正数a,b,数Vab称为a,b的几何平均值 如果a:力都是正数，那么生 ≥Vab,当且仅当 a=b 时， 均值不等式 等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中， 正方形 的面积最大 ◆返回目录 8 数学·必修 第一册（配RB版 导学2 利用均值不等式求最值 2问题1 若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？ 提示中=8，由生 ≥y得y≤16，当且仅当x=y=4时，等号成 立，即这两个正数都为4时， 其积最大 》问题2 若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？ [提示]y=16,由x+y≥2Ny得x十y≥8，当且仅当x=y=4时等号成立， 即这两个正数都等于4时，其和最小. ◆返回目录 数学·必修 第一册（配RB版 ©结论形成 用均值不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们 己知x,y都是正数，如果和x十y等于定值S,那 的积有最大值 么当 x=y 时，积y有最大值4S. 两个正数的积为常数时，它们 己知x,y都是正数，如果积y等于定值P,那 的和有最小值 么当x=y 时，和x+y有最小值2VP. ◆返回目录 10