第5章 一元函数的导数及其应用 章末整合提升-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（课件）

第五章 一元函数的导数及其应用 章末整合提升 1知识网络 变化率问题 变化率与导数 导数的概念 导数的几何意义 几个常用函数的导数 元函数的导数及其应用 导数的计算 基本初等函数的导数公 式及导数的运算法则 函数的单调性与导数 导数在研究 函数的极值与导数 函数中的应用 函数的最大（小）值与导数 生活中的优化问题举例 2 2深化提升 (一)导数的几何意义 1.导数的几何意义：函数y=x)在点x=xo处的导数f(xo)就是曲线y=x) 在点(xo,xo)处的切线的斜率. 2.导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点 处的切线方程y一yo三f(xo)x一xo),明确“过点P(xo,o)的曲线y=x)的切线方 程”与“在点P(xo,yo)处的曲线y=x)的切线方程”的异同点. 3 典题 设函数x)=x3+(a一1)x2+ax.若fx)为奇函数，则曲线y=fx)在点 (0,0)处的切线方程为( A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x [解析]法一因为函数fx)=x3+(a一1)x2+ax为奇函数，所以-x)=一 x), 所以(-x)3+(a-10(-x)2+a(-x)=-[x3+(a-1)x2+a],所以2(a-1)x2= 0,又因为x∈R,所以a=1,所以fx)=x3+x,所以f(x)=3x2+1,所以f(0) =1,所以曲线y=fx)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D. 4 法二因为函数fx)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数，所以-1)十1)=0，所 以-1十a-1-a十(1十a一1十a)=0,解得a=1,所以fx)=x3+x,所以f(x)= 3x2+1,所以f(0)=1,所以曲线y=x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D. [答案]D 5 (二)函数的单调性与导数 借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有nx,e,一x等线性函数（或 复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点.其特点是导数f'(x)的符号一 般由二次函数来确定：经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨 论、数形结合于一体. 典题2 已知函数)=3x-2r2+nx,其中a为常数且a≠0， (I)若a=1,求函数fx)的单调区间； (2)若函数x)在区间1,2]上为单调函数，求a的取值范围. [解析](1)当a=1时，x)=3x一2x2+lnx,其定义域为(0，+∞)，则f(x) -4+3=-4r+3+l-+-0. x 当x∈(0,1)时，(x)>0,故函数fx)在区间(0,1)上单调递增： 当x∈(1，+∞)时，(x)<0,故函数fx)在区间(1，+∞)上单调递减. 所以x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，十∞). (②由题意得()=34r+0), 因为函数x)在区间[1,2]上为单调函数， 所以在区间[1,2]上，(x)≥0或fx)≤0恒成立， 即}4+之0或2-4+0在∈12时恒成主，即24-支4- 1≤re2.24-或24- 其中1≤x≤2. 令h)=4-1≤x≤2)，易知函数)在区间[1,2上单调递增， 故h(1)≤hx)≤h(2). 8 所以子2)或2. 即24×2--84×1--3， 解得a<0或0<a≤或a≥l 故的取值范国为(-m,0u0,U1，十m 9 (三)函数的极值、最值与导数 1.极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后 者是函数的“整体”性质.另函数有极值未必有最值，反之亦然. 2.判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数x)的定义域 (2)解方程f(x)=0的根. (3)检验f'(x)=0的根的两侧f'(x)的符号： 若左正右负，则x)在此根处取得极大值： 若左负右正，则x)在此根处取得极小值. 10