第5章 5.3.1 教考衔接(三) 函数的公切线-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（课件）

第王意一云画数的导数卫其应田 数学，选择性必修第二册（配RJA版） 第五章一元函数的导数及其应用 教考衔接（三） 函数的公切线 数学，选择性必修第二册（配RJA版 第五意云函数的导数又甘应田 一、真题展示 2020全国卷川)若直线与曲线，=G和r22=5 都相切，则的方程为 () A.y=2x+1 B.y=2x+号 c.y=2+1 2 函数的数甘本田 数学，选择性必修第二册（配RJA版） 二、真题溯源 [教材P104第13题] 己知曲线y=x十lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(2a十3)x十1只有一个 公共点，求a的值. 三、算法探究 导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通 过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函 数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. 3 数学，选择性必修第二册（配RJA版 类型一求两函数的公切线 例1山 函数x)=lnx十1的图象与函数g(x)=e-1的图象的公切线的方程为 [解析] 根据题意，设函数x)与g(x)的图象的公切线为直线1，并设直线1与 函数y三=fx)的图象相切于点(m,lnm+1),与函数y=g(x)的图象相切于点(n,e” -1少r)=nx+1,得()=士所以直线的斜率为(m)= 则直线的 方程为一nm一1=c一m.即=+lnm.又由g)=e-1,得g'6侧= 4 数学，选择性必修第二册（配RJA版） e,所以直线的斜率为g'(n)=e”,则直线的方程为y一e”+1=e”(x一n),即= e”x+(1-n)e”-1.由题意知m 消去m,得(1一n)(e”-1)=0, lnm=(1-n)e”-1, 解得n=0或n=1.所以公切线的方程为y=x或y=ex一1. [答案]y=x或y=ex一l 5 数学，选择性必修第二册（配RJA版 规律方法 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线 =fx)在点Po,fxo)》处的切线方程是y一fxo)=f'(xo)(c一xo);求过某点的切线 方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解 6 工高一函的已甘应田 数学，选择性必修第二册（配RJA版 类型二与公切线有关的求值问题 例2 若直线y=x十b是曲线y=e-1和y=e1的公切线，则实数k的值是 A.eI B.e C.0 D.1 [解析] 设直线y=十b与曲线y=e一1，y=e分别相切于点A(x1,ex1一 1),Bx2,ex2-1), 对函数y=e-l求导得y′=e,则k=ex1, 曲线y=e-1在点A处的切线方程为y一ex1+1=ex1x一x),即y=exx+(1一 x1)ex1-1. 第王音云函数的三数见甘应田 数学，选择性必修第二册（配RJA版 对函数y=el求导得y′=e1,则k=ex2-1, 曲线y=e-1在点B处的切线方程为y一ex2-1=ex2一lx一x2),即)=er2一lx +(1-x2)ex2-1, 所以 k=exi=ex2-1, =(1-x1)ex1-1=(1-x2)ex2-1, x1=0, x2=1, 化简可得 故选D. k=1, b=0. [答案]D 8 竿工意一年画数的导数卫其巴 数学，选择性必修第二册（配RJA版） 规律方法 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在 切线上构造方程. 9 数学，选择性必修第二册（配RJA版） =函数的出甘应田 类型三判断公切线条数 例3 已知yx)=e-1(e为自然对数的底数)，gx)=lnx+1,则yx)与gx)的 公切线条数为( A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 根据题意，设直线1与fx)=e-1相切于点(m,e”一1)，与g(x)相切 于点(n,lnn十1)， 对于fx)=c-l,f'x)=e,则k=em, 则直线的方程为十1一em=e"x-m),即y=e”x十e"(1一m)-1, 10