第4章 4.3.1 教考衔接(一) 构造法求解数列问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（课件）

数学，选择性必修第二册（配RJA版 竿丽音数万 第四章数列 教考衔接（一） 构造法求解数列问题 数学，选择性必修第二册（配RJA版 一、真题展示 (2019·全国卷I川)己知数列{am}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an一bm十 4,4bm+1=3bm-am-4. (1)证明：{an十bn}是等比数列，{an一bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式. 2 竿m音数万 数学，选择性必修第二册（配RJA版） 二、真题溯源 [教材P41第11题] 已知数列a}的首项a=子 3an 且满足an1一2an十1 山求证：数列。1为等比数列。 2)若+++…+上1O0,求满足条件的最大整数n aa a3 三、算法探究 高考中与数列相关的计算与证明问题中经常出现利用递推关系构造新数列 问题，此类问题一般含有一定的技巧性，难度中等. 3 数学，选择性必修第二册（配RJA版） 类型一形如a+=pan士fn)型 例1 (1)(多选题)数列{an}的首项为1，且an+1=2an十1，Sn是数列{an}的前 n项和，则下列结论正确的是( A.a3=7 B.数列{an十1}是等比数列 C.an=2n-1 D.Sn=21-n-1 4 数学，选择性必修第二册（配RJA版） (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,ant1=Sn十2”+1，a1=2,则Sn=() A.(n+1)2” B.(n+1)2-1 C.n2"-1 D.n2” 5 数学，选择性必修第二册（配RJA版） [解析](1)'an+1=2an+1, 可得an+1+1=2(an+1) 又a1+1=2 :数列{an十1}是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确； 则an十1=2”，：an=2”-1,故C错误； 则a3=7,故A正确： “8=2二29-4=21-%-2，故D错误 1-2 故选AB. 6 数学，选择性必修第二册（配RJA版） 2因为a1=S.+21则51-S.=S,+21,于是得)-=1 因此数列合是公差为1的等差数别首项=1，则受=1十a一X1.所 以Sn=n2” 故选D. [答案](I)AB (2)D 数学，选择性必修第二册（配RJA版 规律方法 (I)形如an+1=aan十B(a≠0,1，B≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的 基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一 项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列 (2)递推公式an+1=aan+B的推广式an+1=aan+BXy(a≠0，l,B≠0， ≠0小.两边同时除以y后得到=多号+号 转化为b1=,+k≠0,1)的 形式，通过构造公比是的等比数列6，产利求解 8 数学，选择性必修第二册（配RJA版 类型二相邻项的差为特殊数列（形如an+1三pan十q型） 例2 甲、乙两人拿两颗质地均匀的骰子做抛掷游戏.规则如下：由一人 同时掷两颗骰子，观察两颗骰子向上的点数之和，若两颗骰子的点数之和为两 位数，则由原掷骰子的人继续掷：若掷出的点数之和不是两位数，就由对方接 着掷.第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为Pn,则P3=，求Pm 与Pn1的关系，Pn= 9 数学，选择性必修第二册（配RJA版 [解析] 两颗骰子的点数之和为两位数的概率为3十？+1 36 6. 第n次由甲掷有两种情况： ①第n一l次由甲掷，第n次由甲掷， 概率为。1： ②第n一1次由乙掷，第n次由甲掷， 摄率为1-P-) 这两种情况是互斥的，所以当n≥2时.A,=名P+各1-A山即P,=一子 R+8 10