第十一章 三角形 4大专题讲练-【专题突破】2023-2024学年八年级数学上册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

第十一章 三角形专题讲练 一、导角模型 （1）8字模型 【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】∵∠BOC是△AOB的外角 ∴∠A+∠B=∠BOC ∵∠BOC是△COD的外角 ∴∠C+∠D=∠BOC ∴∠A+∠B=∠C+∠D 例题1 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 例题2 如图，的度数为 ． 例题3 如图，若，则 ． 例题4 如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 例题5 如图，与的角平分线交于点．    (1)若，，求的度数； (2)直接写出，，的数量关系； (3)若与的大小发生变化，（2）的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子． 例题6 阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． （2）飞镖模型 【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【证明】如图，延长BD交AC于点E. ∵∠BEC是△ABE的外角 ∴∠BEC=∠A＋∠B 又∵∠BDC是△CDE的外角 ∴∠BDC=∠BEC＋∠C=∠A＋∠B＋∠C. 例题7 在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 例题8 如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 例题9 如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数． 例题10 探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°； ②如图3，平分，平分，若，，则______°； ③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数． （3）A字模型 【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则 ∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A 【证明】∵和是的外角， ∴，. 又∵， ∴. 例题11 如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 例题12 如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 例题13 如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 例题14 如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边上E处，折痕为，则= ．    例题15 （1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． （4）射影模型 【结论】如图所示，在Rt△ABC中，，交AC于点D，则,. 【证明】∵在Rt△ABC中，，交于点， ∴，， ∴，. 例题16 如图，是的高，．若，则的度数是 ．    例题17 如图，在中，，于D，求证：． 例题18 如图，在中，，于点．      (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 例题19 已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．    (1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个