2.3.2 直线的对称性问题讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4直线的对称性问题 目 录 ☯知识清单☯ 1. 点关于点的对称 - 2 - 2. 直线关于点的对称 - 3 - 3. 点关于直线的对称 - 3 - 4. 直线关于直线的对称 - 3 - ☯典型例题☯ 母题1：点关于点对称 - 4 - 母题2：直线关于点的对称 - 6 - 母题3：点关于线对称 - 7 - 母题4：直线关于直线的对称 - 9 - 2.4直线的对称性问题 ☯知识清单☯ 1. 点关于点的对称 （1）实质：该点是两对称点连线段的中点 （2）方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称 2. 直线关于点的对称 （1）实质：两直线平行 （2）①转化为“点关于点”的对称问题（在上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于对称的点，然后求出直线方程）。 ②利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）。 3. 点关于直线的对称 （1）实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线 （2）①当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 (直线是线段的垂直平分线，则，的中点在直线上) ②当直线斜率不存在时：点关于的对称点为。 4. 直线关于直线的对称 （1）当与相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点 第三步：利用两点式写出方程 （2）当与平行时：对称直线与已知直线平行。 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。 ☯典型例题☯ 母题1：点关于点对称 1. 点关于点的对称点的坐标为 。 2. 若点是线段的中点，且点的坐标为，则点的坐标为 。 3. 已知两点，，则点关于点的对称点的坐标为 。 4. 点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ） A． B． C． D． 母题2：直线关于点的对称 1. 与直线关于点对称的直线方程是(　　) A. B. C. D. 2. 直线关于原点对称的直线方程是（ ） A． B． C． D． 3. 直线关于点对称的直线方程是（ ） A． B． C． D． 4. 已知直线与关于点对称，则______. 母题3：点关于线对称 1. 求点关于直线的对称点坐标。 2. 求点关于直线的对称点坐标。 3. 求点关于直线的对称点的坐标。 4. 若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ） A. B. C. D. 5. 将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则________。 6. 已知直线，点。 （1）求点关于直线的对称点； （2）求直线，关于点的对称直线的方程。 母题4：直线关于直线的对称 1. 直线关于对称的直线方程是（ ） A． B． C． D． 2. 两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 3. 已知直线，，。 （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程。 4. 已知直线，求： （1）点关于的对称点； （2）直线关于直线对称的直线方程； （3）直线关于的对称直线。 ************************************************************************************************************ - 1 - $$ 2.4直线的对称性问题 目 录 ☯知识清单☯ 1. 点关于点的对称 - 2 - 2. 直线关于点的对称 - 3 - 3. 点关于直线的对称 - 3 - 4. 直线关于直线的对称 - 3 - ☯典型例题☯ 母题1：点关于点对称 - 4 - 母题2：直线关于点的对称 - 6 - 母题3：点关于线对称 - 7 - 母题4：直线关于直线的对称 - 9 - 2.4直线的对称性问题 ☯知识清单☯ 1. 点关于点的对称 （1）实质：该点是两对称点连线段的中点 （2）方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称