2.3 直线的交点坐标与距离公式讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3直线的交点坐标和距离公式 目 录 ☯知识清单☯ 1. 直线的交点 - 3 - 2. 过两条直线交点的直线系方程 - 3 - 3. 点到点的距离 - 3 - 4. 点到直线的距离 - 4 - 5. 平行线间的距离 - 4 - ☯典型例题☯ 母题1：两直线的交点问题 - 4 - 母题2：根据交点的情况求参数 - 7 - 2-1：由交点个数求参数 - 7 - 2-2：三角形问题 - 9 - 2-3：根据交点位置求参数 - 11 - 母题3：过两直线交点的直线系方程 - 13 - 母题4：点到点的距离问题 - 16 - 4-1：直接应用公式 - 16 - 4-2：根据两点间距离求参数 - 18 - 4-3：最值问题 - 19 - 母题5：点到直线的距离公式 - 20 - 母题6：平行线间的距离公式 - 22 - 2.3直线的交点坐标和距离公式 ☯知识清单☯ 1. 直线的交点 （1）直线的交点与方程的解： 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可： 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 （2）判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况。 ①解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值。 ②解题过程中注意对其中参数进行分类讨论。 ③最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系。 2. 过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数。 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系。 经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数。 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线。 3. 点到点的距离 （1）距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为： （2）三种特殊距离： ①原点到任意一点的距离为； ②当平行于轴时，； ③当平行于轴时，。 4. 点到直线的距离 （1）定义：点到直线的垂线段的长度. （2）距离公式：点到直线的距离. 【注意】①直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. ②点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； ③点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0. 5. 平行线间的距离 （1）距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程中和的系数对应相等。 （2）两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点）， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 ☯典型例题☯ 母题1：两直线的交点问题 1. 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标： （1）；（2）；（3）． 2. 判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： （1）1：2x+y+3=0，2：x―2y―1=0； （2）1：x+y+2=0，2：2x+2y+3=0； （3）1：x―y+1=0；2：2x―2y+2=0． 3. (多选)下列选项中，正确的有(　　) A.直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1，3) B.直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2，1) C.直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3交点坐标为(－2，2) D.直线l1：x－2y＋1＝0和l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交 4. （多选）若两条直线与有交点，则该交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法： ①若方程组无解，则两直线平行； ②若方程组只有一解，则两直线相交； ③若方程组有无数多解，则两直线重合． 其中说法正确的有（ ） A．① B．② C．③ D．以上都不正确 5. 过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ） A． B． C． D． 母题2：根据交点的情况求参数 2-1：由交点个数求参数 1. 若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 2. 三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为________． 3. 直线ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0相交于一点，则a的值为________． 4. 直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　)