2.2 直线的方程讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2 直线的方程 目 录 ☯知识清单☯ 1. 直线的点斜式方程 - 3 - 2. 直线的斜截式方程 - 4 - 3. 直线的两点式方程 - 4 - 4. 直线的截距式方程 - 5 - 5. 直线方程的一般式 - 6 - 6. 直线方程几种表达方式的选取 - 6 - 7. 直线方程的综合应用 - 7 - ☯典型例题☯ 母题1：点斜式方程 - 8 - 1-1：点斜式方程的形式 - 8 - 1-2：求直线方程 - 9 - 母题2：斜截式方程 - 10 - 2-1：求直线方程 - 10 - 2-2：斜截式方程的图象应用 - 12 - 2-3：根据斜截式方程求参数取值 - 14 - 母题3：两点式方程 - 15 - 3-1：求两点式直线方程 - 15 - 3-2：根据两点式求参数取值 - 16 - 3-3：光线折射问题 - 17 - 母题4：截距式方程 - 18 - 4-1：截距式方程的概念理解 - 18 - 4-2： 求截距式直线方程 - 19 - 母题5：一般式方程 - 24 - 5-1：直线的一般式方程 - 24 - 5-2：五种方程形式的互化 - 25 - 母题6：直线过定点问题 - 28 - 母题7：两条直线的位置关系 - 30 - 母题8：由直线平行与垂直求直线 - 31 - 母题9：由直线的平行与垂直求参数 - 32 - 母题10：直线方程的综合问题 - 35 - 2.2 直线的方程 ☯知识清单☯ 1. 直线的点斜式方程 （1）定义：如图，直线过定点，斜率为，把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 （2）两种特殊的直线： ①垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°，斜率不存在，没有点斜式，其方程为或。 ②平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点，倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为。 （3）求直线点斜式方程的一般步骤： ①求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 ②点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。 知识点诠释： 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2．当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4．表示直线去掉一个点；表示一条直线． 2. 直线的斜截式方程 （1）定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为，则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 （2）斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 知识点诠释： 1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 3. 直线的两点式方程 （1）定义：如图，直线经过点，（其中，），则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 （2）两点式方程的应用 用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。 已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。 知识点诠释： 1．这个方程由直线上两点确定； 2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3．直线方程的表示与选择的顺序无关． 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 4. 直线的截距式方程 （1）定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 （2）截距的概念 ①横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； ②纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 （3）截距式方程应用的注意事项 ①问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； ②选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； ③要注意截距式方程的逆向应用。 知识点诠释： 1．截距式的条件是，即截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线，不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 5. 直线方程的一般式 （1）定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做