专题05 基本不等式及其应用培优题型（重点知识梳理+9类题型+过关检测）-【挑战压轴题】2023-2024学年高一数学上学期培优题型归纳与满分秘籍（沪教版2020必修第一册）

学科网 学种网票创，让学司更容易！ co JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题05基本不等式及其应用培优题型 数量关系是数学重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系，而等式与不等式则是表 示相应数量关系的基本工具：等式与不等式的知识。在日常生活中也有着广泛的应用： 泸教版2020高中数学必修第一册主要通过类比方法，学习有关等式与不等式的性质，并借助集合和 逻辑的语言，求解和证明一些基本的不等式：在学习过程中，要注意沪教版2020是以基本不等式为主线： 分别以： 平均值不等式 a+b,√ab(a>0,b>0).当且仅当a=b时等号成立： 2 常用不等式g+62)2ab.当且仅当a=b时等号成立：。m+b。,b.当且取当a=b时等号成立： 826 三角不等式：|a+ba|+|b|,当且仅当ab30时等号成立： 替代了传统的基本不等式及其应用：掌握等价变形的方法，并特别注意不等式取到等号的条件： 《必修第一册》目录.第2章等式与不等式：2.3基本不等式及其应用： 2.3.1平均值不等式及其应用：2.3.2三角不等式： 知识梳理 1、基本不等式 (1)平均值不等式 a+b,√ab(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立： 2 【评注1平均值不等式a+b,√aba>0,b>0): (1)平均值不等式成立的条件：a>0,b>0 (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时等号成立. (3)其中a+b2叫做正数a.b的算术平均数.ab叫做正数a.b的几何平均数， (4)平均值不等式的几何解释： 【提示】 (2)常用不等式。2+62)2b.当且仅当a=b时等号成立：+b。ab.当且收当a=b时等号 82a ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权.侵权必究！ 1 学科网 学种闪原创，让学司更容易！ o JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 成立： (3)三角不等式|a+bEa+|b,当且仅当ab30时等号成立： 2、利用平均值不等式求最大、最小值问题 (1)如果x,y∈(O.+∞).且xy=P定值) 那么当x=y时.x+y有最小值2P.(简记：“积定和最小") (2)如果xy∈(O.十∞).且x十y=S(定值). 那么当x=y时，xy有最大值S24.(简记：“和定积最大"”： 3、基本不等式的变式 (1)常用的几个重要不等式 ④a+b≥2ab(a>0.b>0). ②ab≤\a\vs4\al小co1(0f(a+b2)2(a,b∈R) a1alvs4\alco1(0f(a+b2)2≤a2+b22(a.b∈R). ④ba+ab≥2(a,b同号). 5211b≤ab(a>0,b>0) 以上不等式等号成立的条件均为a=b. (2)a2+b2+c22ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时等号成立 (3)若a>0.b>0,c>0,则3abc≤a+b+c3 (4)x2a+y2b≥口x+y口2a+b(a,b.x,y均为正数) 证明思路：转化为证明趴a1vs41a小co1(1f(x2y2b(a+b)2(x+y)2 4、三角不等式及其理解 定理（三角不等式） 如果a、b是实数.那么a+bEa|+|b|:当且仅当ab30时，等号成立。 变式1：对任意的实数a、b:证明：a|-bEa+b,并指出等号成立的条件： 变式2：对任意的实数a、b:证明：a-bEa·b.并指出等号成立的条件： 变式3：对任意的实数a、b:证明：2|ala+b+|a-b|,并指出等号成立的条件： 变式4：对任意的实数a、b:证明：2bEa+b+|a-b,并指出等号成立的条件： 变式5：对任意的实数a、b:证明：a+blEa+b|+|a-b.并指出等号成立的条件： 变式6：对任意的实数a、b:证明：|a|-|bEa+bE|a|+|b,并指出等号成立的条件： 题型精讲 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权.侵权必究！ 2 命学科网 学种网票创，让学司更容易！ .CO JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 题型1、对平均值不等式的理解 例1、(1)设0<a<b.则下列不等式中正确的是() A.a<b<ab<a+b2 B.a<ab<a+b2<b C.a<ab<b<a+b2 D.ab<a<a+b2<b (2)给出下面四个推导过程： ①因为a.b∈(0，+o).所以ba+ab≥2bab=2: ②因为x∈(-∞0.0).所以x十1x≥2： ③因为a∈R,a+0.所以4a+a≥24a)a=4: ④因为x,y∈R,xy<0.所以xy+yx=-blc1(rc\a\vs4\alco1(-1fxy)+) \b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(yx))))s-2\rc\\rc\x=-2. 其中正确的推导过程为() A.①② B.②③C.③④D.①④ 【提示】：