第1章全等三角形-常见解题模型(截长补短+倍长中线)讲义2023-2024学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形-常见解题模型（截长补短+倍长中线） 【学习目标】 1.截长补短模型 2.倍长中线模型 类型一、截长补短模型 分析证明一条线段等于两条线段和（差）的基本方法有两种： (1)补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段，使其为求证中的两条线段之和，再证明 所构造的线段与求证中那一条线段相等。如图：延长AB,使BE=BD,连接DE,则AC=AB +BD。 B (2)截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段， 再证明截剩的部分与线段中的另一段相等。如图：在AC上截取AE=AB,连接DE,则AC=AE +EC=AB+BD。 B 【典型例题】 【例1】如图，DCAB+DABD=I20°，AD、BC分别平分DCAB、DABD,AD与BC交于点O. B (1)求DA0B的度数： (2)说明AB=AC+BD的理由 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 1 举一反三： 【变式1】已知：如图所示，在DABC中，AD为中线，BF交AD,AC分别于E,F,如果BE=AC, 求证：AF=EF 【变式2】阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在VABC中，AD平分DB4C, DB=2DC,求证：AB+BD=AC. B D (图1) 李老师给出了如下简要分析：“要证AB+BD=AC就是要证线段的和差问题，所以有两 个方法，方法一：‘截长法'如图2，在AC上截取AE=AB,连接DE,只要证BD= 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出V ≌△ 得出DB=DAED及BD= ,再证出D =D 进而得出ED-EC,则结论成立.此种证法的基础是已知AD平分DBAC,将 △ABD沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处'成为可能 D (图2) 方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F,使BF=BD,只要证AF=AC即可.此时 先证D =DC,再证出V ≌△ 则结论成立.” FZ-- (图3) 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 2 【变式3】数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰R1DABC中，DBAC=90°，AB=AC,AD=AE,求证DABE=DACD; 在此问题的基础上，老师补充： 过点A作AF⊥BE于点G交BC于点F,过F作FPA CD交BE于点P,交CD于点H, 试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并说明理由 小白通过研究发现，DAFB与DHFC有某种数量关系；： 小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进 一步推理，可以得出结论 阅读上面材料，请回答下面问题： D 图1 图2 (I)求证DABE=DACD; (2)猜想DAFB与DHFC的数量关系，并证明： (3)探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并证明 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 3 类型二、倍长中线模型 倍长中线法：就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一 条)，用SAS证全等（对顶角相等） 倍长中线最重要的一点：延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。 常见图形： 【典型例题】 【例2】如图，△ABC中，若AB=8,AC=6,则BC边上的中线AD长度的取值范围为(). A.6<AD<8 B.6≤AD≤8 C.1<AD<7 D.1≤AD≤7 B 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 4 举一反三： 【变式1】如图，AD是△ABC的中线，E,F分别在边AB,AC上(E,F不与端点重合)， 且DE⊥DF,则() D A.BE+CF>EF B.BE+CF=EF C.BE+CF<EF D.BE+CF与EF的长短关系不确定 【变式2】【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=12,AC=8, 求BC边上的中线AD的取值范围 小明在组内经过合作交流.得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,连接BE. 请根据小明的方法思考： B E 图1 图2 图3 (1)由已知和作图能得到△ADC三△EDB,依据是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的 已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中 【变式3】阅读理解 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线， 若延长AD至B,使DE=AD,连接CE,可根据SAS证明△ABD三△ECD,则AB=EC