专题11 用频率估计概率-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题11用频率估计概率 【知识梳理】 知识点01用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【点石成金】 （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 【点石成金】 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【题型探究】 1.一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，搅匀，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.2，求n的值； （2）若，小明两次摸球（摸出一球后，不放回，再摸出一球），请用树状图画出小明摸球的所有结果，并求出两次摸出不同颜色球的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为0.2，然后利用概率公式列方程即可； （2）画出树状图，然后根据概率公式求概率即可. 【详解】 解：（1）∵经过大量实验，摸到绿球的频率稳定于0.2， ∴摸到绿球的概率为0.2 ∴ 解得：，经检验是原方程的解. （2）树状图如下图所示： 由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中两次摸出不同颜色球的结果共有10种， 故两次摸出不同颜色球的概率为： 【点睛】 此题考查的是利用频率估计概率、画树状图及概率公式，掌握画树状图分析结果和利用概率公式求概率是解决此题的关键. 2.某商场进行有奖促销活动，规定顾客购物达到一定金额就可以获得一次转动转盘的机会（如图），当转盘停止转动时指针落在哪一区域就可获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘）． 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“10元兑换券”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“10元兑换券”的频率 0.68 a 0.68 0.69 b 0.701 （1）a的值为　 　，b的值为　 　； （2）假如你去转动该转盘一次，获得“10元兑换券”的概率约是　 　；（结果精确到0.01） （3）根据（2）的结果，在该转盘中表示“20元兑换券”区域的扇形的圆心角大约是多少度？（结果精确到1°） 【答案】（1）0.74、0.705；（2）0.70；（3）108°． 【分析】 （1）根据频率，计算即可；（2）由表可知，随着转动次数越大，频率逐渐稳定在0.70附近，可估计概率；（3）在该转盘中表示“20元兑换券”区域的扇形的圆心角大约是360°×0.3. 【详解】 解：（1）a=111÷150=0.74、b=564÷800=0.705， 故答案为0.74、0.705； （2）由表可知，随着转动次数越大，频率逐渐稳定在0.70附近， 所以获得“10元兑换券”的概率约是0.70， 故答案为0.70； （3）在该转盘中表示“20元兑换券”区域的扇形的圆心角大约是360°×0.3=108°． 【点睛】 本题考核知识点：用频率表示概率. 解题关键点：理解频率的意义. 3.从一定高度落下的图钉，落地后可能图钉针尖着地.也可能图钉针尖不着地，雨薇同学在相同条件下做了这个实验.并将数据记录如下： 实验次数n 200 400 600 800 1000 … 针尖着地频数m 84 176 280 362 451 … 针尖着地频率 0.420 0.440 0.467 0.453 0.451 … (1)观察针尖着地的频率是否稳定，若稳定，请写针尖着地频率的常数______(精确到0.01)；若不稳定，请说明理由. (2)假如小明同学在相同条件下做了此实验10000次，估计图钉针尖着地的次数大约是多少. 【答案】（1）0.45；（2）4500次. 【分析】 （1）根据在相同条件下大量反复实验时，随机事