第四章 数列（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第四章 数列（知识归纳+题型突破） 1．了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是一种特殊的函数，了解数列的递推公式，并能简单应用． 3．能用累加法、累乘法由递推公式求通项公式． 4．会求数列中的最大(小)项，能从函数的观点研究数列． 5．通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 6．能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 7．能根据等差数列的定义，推出等差数列的常用性质．能运用等差数列的性质简化计算． 8．探索并掌握等差数列前n项和公式及其获取思路． 9．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系，在五个量(a1，d，n，an，Sn)中，会由其中三个求另外两个． 10．能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题． 11．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 12．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题． 13．灵活应用等比数列的通项公式，体会等比数列与指数函数的关系． 14．探索并掌握等比数列的前n项和公式及前n项和的性质． 15．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 16．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 1．数列的概念 定义 按照一定次序排列的一列数称为数列 项 数列中的每个数都叫作这个数列的项 数列的表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项或首项，a2称为第2项……an称为第n项 (1)数列中的数是按一定次序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列． (2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1，1，－1,1，…；2,2,2，…． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3．数列的通项公式 一般地，如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式． 对于数列的通项公式的理解 (1)并不是所有的数列都能写出其通项公式，例如，圆周率数列1,1．4,1．41,1．414，…． (2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列1,0,1,0,1,0，…，它的通项公式可以是 an＝，也可以是an＝． (3)数列的通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的某一项． 4．数列的递推公式 一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．递推公式也是给定数列的一种方法． 5．数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系f 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 (1)有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化．如数列1,3,5，…，2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N*)，用递推公式表示为a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)． (2)与所有数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．如π精确到1,0．1,0．01，0．001，…的近似值构成的数列为3,3．1,3．14，3．142，…，无法写出其递推公式．有些数列即使有递推公式，也不一定唯一．如数列2,4,6,8,10，…为正偶数组成的数列，其递推公式可以是a1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N*)，而a1＝2，a2＝4，an＋1＝2an－an－1(n≥2)也是它的递推公式． 6．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示． (1)“从第二项起”是指第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项减去它的前一项所得的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，