第四章 数列（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第四章 数列（压轴题专练） 题型一 数列的函数性质 【例1】已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·n，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，请说明理由． 思维升华 1．求数列的最小项(或最大项)的方法 (1)判断数列的单调性，求出最小项(或最大项)所在的位置． (2)设第n项an最大(或最小)，则n≥2，解不等式组，从而确定出哪一项为数列的最值． 2．由数列的单调性确定变量的范围 利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列{an}递增⇔an＋1＞an恒成立；数列{an}递减⇔an＋1＜an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．　　 巩固训练 1．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，试判断该数列的增减性，并说明理由． 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N*)，若数列{an}是递增数列，求实数k的取值范围． 题型二　等差数列的判定与证明 【例2】　已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1，n∈N*)，记bn＝． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 思维升华 等差数列的判定与证明方法 定义法 an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 　 巩固训练 1．已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)． (1)判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由； (2)求{an}的通项公式． 2．已知，，成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列． 题型三　灵活设元求解等差数列问题 【例3】已知四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 思维升华 常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d．　　 巩固训练 1．已知三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． 2．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列． 题型四　等差数列前n项和公式的基本运算 【例4】在等差数列{an}中，(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d； (2)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (3)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n． 思维升华 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．　　 巩固训练 1．在等差数列{an}中， (1)a1＝1，a4＝7，求S9； (2)a3＋a15＝40，求S17． 题型五　两个数列的综合问题 【例5】已知等差数列{an}：5,8,11，…和等差数列{bn}：3,7,11，…各有100项，问它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次构成数列{cn}，问数列{cn}是否为等差数列？ 思维升华　 有关两个等差数列公共项的问题，处理办法一般有两种：一是先利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二是从通项公式入手，建立am＝bn这样的方程，利用n＝f(m)，借助n，m均为正整数，得到n(或m)可取的整数形式．　　 巩固训练 1．已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1与b1，且b1∈N*，a1＋b2 019＝－2．设cn＝abn(n∈N*)，则数列{cn}的通项公式为________． 2．等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是________． 题型六　等差数列前n项和的实际应用问题 【例6】某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m，最远一根电线杆距离电站1 550 m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工(完成任务后回到原处)．若该汽车往返运输总行程为17 500 m，共竖立多少根电线杆？第一根电线