15.3分式方程 第2课时 教案2023-2024学年数学人教版八年级上册

15.3分式方程 【教学目标】 1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结. 2.通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，提高学生运用方程思想解决问题的能力和思维水平. 3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用价值. 【教学重难点】 重点：实际生活中分式方程应用题数量关系的分析. 难点：将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示，并进行归纳总结. 【教学方法】 启发讲授、合作探究、讲练相结合. 【教学过程】 新课导入： 复习： 1.解分式方程的基本思路是什么？答：分式方程去分母转化成整式方程. 2.解分式方程有哪几个步骤？答：一化二解三检验 3.验根有哪几种方法？ 答：有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法. 思考：我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？ （1） 行程问题： 路程=速度×时间以及它的两个变式； （2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法； （3）工程问题： 工作量=工时×工效以及它的两个变式； （4）利润问题： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价. 应用题的解题步骤：审、找、设、列、解、检、答. 新课讲授： （一）工程问题 例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 解法1：设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是， 根据题意得， 解得 x=1. 检验：当x=1时，6x≠0.所以，原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. 解法2：设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得，，解得 x=1. 经检验：原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. 注意： 1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率； 2.通常间接设元，如× ×单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率； 3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”. 课堂练习： 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？ 解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时． 由题意得+=1 ，解得x＝6. 经检验x＝6是方程的解．∴ x＋3＝9. 答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时． （二）路程问题 例2：朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10 km/h，请问面包车，小轿车的速度分别为多少千米/小时？ 解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时， 依题意得， 解得x＝90， 经检验，x＝90是原方程的解，且x=90，x+10=100，符合题意. 答：面包车的速度为100千米/小时，小轿车的速度为90千米/小时. 变式：小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少千米/小时？ 解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得， ， 解得x＝30. 经检验，x＝30是原方程的解，且x=30，符合题意. 答：小轿车提速为30千米/小时. 变式2：两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在S公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少千米/小时？ 解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得，， 解得x＝. ， 注意： 1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别； 2.明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来； 3.行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程. 归纳概括： 列分式方程解应用题的一般步骤： 1.审:审清题意，并设未知数； 2.找:找相等关系； 3.列:列出方程；