专题二 数式规律探究（四大类型）-2023-2024学年七年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

七年级数学上分层优化堂堂清 第二章 整式的加减 专题二 数式规律探究 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型： ①一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系． ②一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系． ③图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系． ④图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数． ⑤数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论． 类型一 探究数的递增规律 常见的数列规律： ①1，3，5，7，9，… ，（为正整数）． ②2，4，6，8，10，…，（为正整数）． ③2，4，8，16，32，…，（为正整数）． ④2，6，12，20，…，（为正整数）． ⑤，，，，，，…，（为正整数）． ⑥特殊数列： （1）三角形数：1，3，6，10，15，21，…，． （2）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和． 【例1-1】观察一列有规律的数：﹣1，3，﹣7，15，﹣31，则它的第n个数是　． 【例1-2】下面是按一定规律排列的一列数：，，，，，，…那么第n个数是　　 针对练习1 1.按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（　　） A． B． C． D． 2.按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（    ） A． B． C． D． 类型二 探究算式的排列规律 【例2-1】观察下列等式：，，，，…，依此类推，第n（n为正整数）个等式是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】对于数133，规定第一次操作为，第二次操作为，按此规律操作下去，则第2022次操作后得到的数是（    ） A．250 B．133 C．55 D．24 针对练习2 1 .观察下列算式：，根据规律，则的末位数字是 ． 2 .计算两个两位数的积，这两个两位数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10． 例如：43×47＝2021，68×62＝4216，74×76＝5624，81×89＝7209 设其中一个数的十位数字为m，个位数字为n，请用含m，n的算式表示这个规律 　 　． 类型三 探究图形的排列规律 【例3-1】如图1是由两个实心点组成，图2由五个实心点组成，图3由十个实心点组成，依此类推，则前六个图形共有实心点的个数为（　　） A．37 B．57 C．77 D．97 【例3-2】如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第5个图案中有 　21　个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）． 针对练习3 1 .观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：    (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④______；⑤；… (2)请写出第n个等式：______； (3)利用（2）中的等式，计算：． 2 .下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有5颗棋子，第②个图形有8颗棋子，第③个图形有13颗棋子，……，则第⑦个图形中棋子的颗数为（　　）    A．36 B．40 C．49 D．53 3 .如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（    ）    A．54 B．108 C．109 D．110 类型四 探究周期性变化规律 【例4-1】对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 【例4-2】现有一列整数，第一个数为1，第二个数为（是正整数）．以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到．如第三个数是由与1差的绝对值得到，即为，第四个数是由与差的绝对值得到，即为，…依此类推． ①若，则这列数的前5个数的和为 ； ②要使这列数的前40个数中恰好有10个0，则 ． 针对练习4 1 .观察下列按一定规律排成的一组数： ，从左起第个数记，则 ， ． 2 .认真阅读材料，然后回答问题： 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如： ．．．……； 下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列