第四节空间向量及其坐标表示讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第四节 空间向量及其坐标表示 考点梳理 一、空间直角坐标系及点的坐标 1.空间直角坐标系 从空间某一定点引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点叫做坐标原点，轴、轴、轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、平面、平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间内的任意点和三元有序实数组构成一一对应关系，我们把这组数称为点的坐标，记做，并依次称为点的横坐标，纵坐标和竖坐标. 4.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 5.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 例题分析 例1、（1）（2022·广州市协和中学高二期末）在空间直角坐标系中，已知点M是点在坐标平面内的射影，则M的坐标是（  ） A． B． C． D． （2）（2022·广东佛山·高二期末）已知，记M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则（   ） A． B． C． D． 二、 空间向量的坐标运算 1、空间两点间的距离公式 若，则 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. . 2、空间线段的中点坐标 设空间两点，则线段AB的中点C的坐标为. 3、向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; 例题分析 例2、（2022·全国·高二课时练习）若△顶点，且，，则点C坐标是___________. 例3、（2022·广东潮州·高二期末）（多选）已知向量，则与共线的单位向量（  ） A． B． C． D． 例4、（2022·广东·红岭中学高二期末）已知向量,,并且､共线且方向相同,则______. 例5、（2022·广东惠州·高二期末）已知，，则在上的投影向量为（  ） A．1 B． C． D． 例6、（2021秋·高二课时练习）点的坐标满足，点，则的最小值是 ，的最大值是 . 三、空间向量数量积的坐标运算 1、若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和. 2、空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 （1）； （2）. 注意：夹角的范围是 3、空间向量平行和垂直的条件 若，则 （1）； （2）. 规定：与任意空间向量平行或垂直 感悟与升华 空间向量的坐标运算的公式与法则与平面向量相应坐标运算的公式与法则是相同的，只是从二维空间推广到了三维空间，多了一个竖坐标而已. 例题分析 例7、（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知，，则_______. 例8、（2022·广东深圳·高二期末）若向量，，则（  ） A． B． C． D． 四、综合运用能力提高 例9、（2023·全国·高二专题练习）已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（  ） A． B． C． D． 例10、（2023·江苏南通·高三统考）在正方体中，，则下列说法正确的是（  ） A．若，则 B．若，为线段上的动点，则四面体的体积为定值 C．若，，为线段的中点，则 D．若，则线段AP的长度为定值 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四节 空间向量及其坐标表示 考点梳理 一、空间直角坐标系及点的坐标 1.空间直角坐标系 从空间某一定点引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点叫做坐标原点，轴、轴、轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、平面、平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间内的任意点和三元有序实数组构成一一对应关系，我们把这组数称为点的坐标，记做，并依次称为点的横坐标，纵坐标和竖坐标. 4.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 5.空间直角坐标系中