2.4用因式分解法求解一元二次方程（讲+练，五大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（北师大版）

1.2用因式分解法求解一元二次方程 学习目标：1.了解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程． 2．学会观察方程的特征，会用适当的方法解一元二次方程. 重点：因式分解法解一元二次方程. 难点：1.将方程化为一般形式后，对方程左侧的二次三项式进行因式分解． 2．针对不同形式的一元二次方程选择适当的解法. 知识点一 用因式分解法解一元二次方程的步骤 1.因式分解法定义 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 2. 用因式分解法解一元二次方程的步骤： （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 即学即练 （1）（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄二十三中统考期末）老师设计了一个游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一个人计算的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，最后得到方程的解．过程如图：接力中，自己负责的一步出现错误的学生人数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）（2013秋·广东广州·九年级统考期中）用因式分解法解一元二次方程，正确的步骤是（　　） A． B． C． D． 知识点二 常用的因式分解法 1. 利用提公因式法 ma+mb=m(a+b) 2. 利用平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 3. 利用完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 4. 用十字相乘法因式分解 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 特别提醒： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 即学即练1 （1）（2023春·山东淄博·七年级校考阶段练习）方程的根是（　　） A． B． C．， D．， （2）（2022秋·全国·九年级专题练习）整式与整式的积为，则一元二次方程的根是（    ）． A．， B．， C．， D．， （3）（2023秋·九年级课时练习）若方程的根是2和3，那么代数式可分解因式为（    ） A． B． C． D． 即学即练2（2023春·河北唐山·九年级统考开学考试）解方程：． 题型一 利用提公因式法 例1 1．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考开学考试）方程的解是（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．无实数解 举一反三 1-1.（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）一元二次方程的解是 ． 1-2.（2023春·浙江温州·八年级温州市第三中学校考期中）解方程： (1) (2) 1-3.（2023春·广西崇左·八年级校联考阶段练习）解方程 (2)． 题型二 利用平方差公式 例2（2022秋·山西临汾·九年级期中）我们在解一元二次方程时，先将等号左边利用平方差公式进行因式分解，得到，再把它转化为两个一元一次方程或，进而解得，，这种解方程的过程体现出来的数学思想是（　　） A．抽象的思想 B．数形结合的思想 C．公理化的思想 D．转化的思想 举一反三 2-1.（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）对于实数a，b定义运算“”如下：，若，则 ． 2-2.（2023秋·陕西西安·九年级西安市第八十五中学校考开学考试）解方程 审好题很重要，选择合适的方法是关键，以运用两个公式的前提是这两个公式要熟练掌握. 题型三 利用完全平方公式 例3（2022春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）已知4x2+4（m﹣2）x+m是一个关于x的完全平方式，则常数m的值是（　　） A．4或9 B．1或4 C．1或9 D．1或16 举一反三 3-1.（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的代数式+（m+2）x+（4m-7）中，当m= 时，代数式为完全平方式． 3-2.（2019·八年级统考课时练习）已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值. 3-3.（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）若，则的值可以是 ． 题型4 用十字相乘法因式分解 例4（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解一元二次方程，结果正确的是 （    ） A． B． C． D． 举一反三 4-1.（2023秋·全国·九年级专题练习）方程的两个