专题09 空间向量中动点的设法2种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题09 空间向量中动点的设法2种常见考法归类 一、空间向量可解决的立体几何问题 用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量 1、判定（证明）类 （1）线面平行： （2）线面垂直： （3）面面平行： （4）面面垂直： 2、计算类： 利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两直线所成的角为(),； ②直线与平面所成的角为(),； ③二面角的大小为(), 或（视平面角与法向量夹角关系而定） ④点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值.二、空间向量动点的设法 在立体几何解答题中常常涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧： 1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标 2、解题关键：减少变量数量——可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断： （1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标 （2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标 规律：维度=所用变量个数 3、如何减少变量： （1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若使得 () 例：已知，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：——三点中取两点构成两个向量 因为在上，所以 ——共线定理的应用（关键） ，即——仅用一个变量表示 注：①若点在轴上可设点为，若点在轴上可设点为，若点在轴上可设点为，注意根据具体题目给出t的范围。（点落在与轴平行的直线处理方式大致相同） ②若点在直线上，且直线在平面上，则点的竖坐标为0，若已知直线上的两点坐标，除了使用，还可以在平面上表示出直线的方程，得到的关系，则引入一个参数（注意给出参数的范围）即可表示点的坐标。(同理若直线在平面上也适用，不适用于在空间中的斜线） ③若点在面上，有时也可利用向量共线定理解决。 （2）平面上的点：平面向量基本定理——若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，使得： 例：已知，则平面上的某点坐标可用两个变量表示，方法如下：，故，即 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 动点的设法 （一）动点在轴上 （二）动点在平面的直线上 （三）动点在空间的斜线上 （四）动点在面内 考点二 与动点有关的最值问题 （一）单个动点，动点坐标含一个变量 （二）单个动点，动点坐标含两个变量 考点一 动点的设法 （一）动点在轴上 1．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）如图所示，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，；侧面为矩形，，且平面平面.    (1)求证：； (2)设是线段上的动点，试确定点的位置，使二面角的余弦值为. 2．（2023春·湖南·高二开学考试）如图，在正方体中，点在线段上（不包括端点），点在线段上（不包括端点），为线段上的动点．    (1)证明：平面； (2)若，平面与平面的夹角的正弦值为，请确定点的位置． 3．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）如图1，在四边形中，，．将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的几何体．    (1)若为的中点，证明：平面； (2)若为上一动点，且二面角的余弦值为，求的值． 4．（2023春·江西新余·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 5．（2023春·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）在正方体中，E为的中点，过E的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点．    (1)已知点在棱BC上，且，若用平面，求； (2)若，求点D到平面AEF的最大距离． （二）动点在平面的直线上 6．（2021秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，，，O为AC的中点． (1)证明：PO⊥平面ABC． (2)若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值． （三）动点在空间的斜线上 7．（2023秋·江西新余·高二校考开学考试）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．    (1)若为的中点，求证：平面； (2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由． 8．（2023秋·山西·高二校联考开学考试）如图，菱形和正方形所在平面互相垂直，，.    (1)求证：平