第12章 全等三角形 专题一：共顶点模型亦称手拉手模型 专项讲义 2023—2024学年人教版数学八年级上册

专题一：共顶点模型，亦称“手拉手模型” 八年上册数学能力提升专项讲义 共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。 第一：模型解读 【模型分析】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 【模型图示】 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型】 （等腰） （等边） （等腰直角） 第二部分：例题解析 在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． (1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．    (2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．    (3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．    (4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：120； （3）， 理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （4）如图4，当点D在的延长线上时，，    证明方法同（3）； 如图5，当点D在的延长线上时，，    理由如下：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上，或． 此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 第三部分：自主练习 1、如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形 2、如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（　　） ①AE＝DC； ②∠AHC＝120°； ③△AGB≌△DFB； ④BH平分∠AHC； ⑤GF∥AC． A．①②④ B．①③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 3、如图，，都是等边三角形，则的度数是　　 A． B． C． D． 4、如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论： ①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有（　　） A．②④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5、已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点． (1)如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝　 　； (2)如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝ 　； (3)如图3，若∠DAB＝，试探究∠AFG与的数量关系，并给予证明． 6、如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P． (1)观察猜想： 1.AE与BD的数量关系为______； 2.∠APD的度数为______； (2)数学思考： 如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． 第 1 页 共 6 页 $$