第12章 全等三角形——手拉手模型和全等三角形 专项复习讲义 2023—2024学年人教版数学八年级上册

手拉手模型和全等三角形 八年上数学能力提升专项复习讲义 两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。 第一：模型解读 手拉手模型概述：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型。因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”。 审题：1）点A 为共用顶角顶点，看作头 2）线段AB、AC为等腰∆ABC的两腰，看作两条手臂 线段AM、AN为等腰∆AMN的两腰，看作两条手臂 3）点B与点M看作左手，线段BM看作左手拉左手 点C与点N看作右手，线段CN看作右手拉右手 解题过程：①找共用顶点，确定“四只手”； ②连接对应端点； ③SAS证明全等。 总结归纳常见模型： 注意：手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。 第二：例题解读 1、如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形 【解析】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°． ∴∠BCE＝∠ACD． ∴△BCE≌△ACD． ∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD． 又点P与点M分别是线段BE和AD的中点， ∴BP＝AM． ∴△BCP≌△ACM． ∴PC＝MC，∠BCP＝∠ACM． ∴∠PCM＝∠ACB＝60°． ∴△CPM是等边三角形． 故选：C． 2、如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（　　） ①AE＝DC； ②∠AHC＝120°； ③△AGB≌△DFB； ④BH平分∠AHC； ⑤GF∥AC． A．①②④ B．①③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【解析】解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形， ∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°， ∵∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠ABE＝∠DBC＝120°， ∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴AE＝DC，所以①正确； ∠BAE＝∠BDC， ∵∠BDC+∠BCD＝∠ABD＝60°， ∴∠BAE+∠BCD＝60°， ∴∠AHC＝180°﹣（∠BAH+∠BCH）＝180°﹣60°＝120°，所以②正确； ∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°， ∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正确； ∵△ABE≌△DBC， ∴AE和DC边上的高相等， 即B点到AE和DC的距离相等， ∴BH平分∠AHC，所以④正确； ∵△AGB≌△DFB， ∴BG＝BF， ∵∠GBF＝60°， ∴△BGF为等边三角形， ∴∠BGF＝60°， ∴∠ABG＝∠BGF， ∴GF∥AC，所以⑤正确． 故选：D． 第三：自主练习 1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： （1）AE与DC的夹角为60°； （2）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC． 2、如图，在△ABC中，AB＝CB，∠BAC＝∠BCA，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）求证：AE⊥CF； （3）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数． 3、如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 4、如图，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)猜想AE与BD的位置关系，并说明理由． 5、如图，若 和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6、已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点． (1)如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝　 　； (2)如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝ 　； (3)如图3，若∠DAB＝，试探究∠AFG与的数量关系，并给予证明． 第 1 页 共 10 页 $$