四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期数学(理科)周考一试题

成都石室中学2023-2024学年度上期高2024届周考一 数学试题(理科) （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1.已知是虚数单位，复数满足，则（ ） （A） （B） （C） （D） 2. 已知集合，，则（ ） （A） （B） （C） （D） 3. （ ） （A） （B） （C） （ D） 4.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 5.若实数满足约束条件则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6.已知,,,且在上无最小值,则（ ） A. B.1 C. D.2 7.已知等比数列的前项和,则( ) A. B. C. D. 8.六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（ ） A．48种 B．72种 C．120种 D．144种 9.密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去.如密位记为“”，个平角，个周角.已知函数，，则函数的最小值用密位制表示为（ ） A． B． C． D． 10.定义在上的函数满足，，则关于的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 11.已知函数对任意都有，当时，，直线与函数的图像有四个交点，交点横坐标分别为，，，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分． 13.若，则__________． 14.若直线是曲线和的公切线，则实数的值是___________． 15. 已知抛物线：上有两动点，线段的中点到轴距离的是，则线段长度的最大值为___________. 16.已知球的体积为,高为1的圆锥内接于球,经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为,若,则__________. 三、解答题： 17. 在中,角的对边分别为, (1) 求; (2) 若,的面积为,求的周长. 18.每年的3月21日是世界睡眠日,保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠,某机构为了调查参加体育锻炼对睡眠的影响,从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中,各抽取了100人,通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时）,并绘制出如下频率分布直方图. (1)若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”,每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”,请根据已知条件完成下列列联表,并判断是否有99%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关? 睡眠足 睡眠不足 总计 常参加体育锻炼人员 不常参加体育锻炼人员 总计 (2)现从常参加体育锻炼的样本人群中按睡眠是否充足来采用分层抽样法抽取8人做进一步访谈,然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷,记抽取的两人中睡眠足的人数为,求的分布列及数学期望; 参考公式：,其中. 0.10 0.05 0.010 0.001 19．如图，水平面上摆放了两个相同的正四面体和． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 20．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上．直线l：交C于A，B两点，△AOB的面积为2. （Ⅰ）求抛物线C的方程： （Ⅱ）过点的直线与抛物线C交于，两点，直线，与圆的除原点外的交点分别为，，求△OMN与△OPQ的面积之比的取值范围． 21.已知函数. (1)当时,求函数的单调区间; (2)设,若为函数的极值点,且,求的值. 22．在直角坐标系中，已知曲线与曲线，其中为参数．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线和的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线，与曲线和的公共点分别为，两点，求的最大值． 成都石室中学2023-2024学