1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1.1 空间中点、线、面的向量表示 1. 能用向量语言描述点、直线和平面; 2. 理解直线的方向向量和平面的法向量. 学习目标 重、难点 1.教学重点:理解直线的方向向量和平面的法向量. 2.教学难点:建立立体图形与空间向量之间的联系,把立体几何问题转化为空间向量问题. 一.复习回顾 平面向量 空间向量 代数运算 推广 建系 空间向量解决了哪些几何问题? 问题 距离问题 夹角问题 平行、垂直问题 对应关系 点 直线 平面 ? 对应关系 问题1:利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么? 空间向量 立体几何 如何用向量表示空间中的一个点? 思考1 点+位置向量→点 一、空间中点的向量表示 向量 称为点P的位置向量. 定原点(参照物) 如何用向量表示空间中的直线? 思考2 点+方向向量→线 二、空间中直线的向量表示 A 取 对直线 l 上任意一点P, 点P在直线 l 上的充要条件是 存在实数 t, 使得 即 a l P B 如何用向量表示空间中的直线? 思考2 点+方向向量→线 二、空间中直线的向量表示 取定空间中任一点O, 有 ① 即 ② a l P B A O ① ②式称为空间直线的向量表示式. 空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量 a唯一确定. 点A和向量a不仅能确定直线 l 的位置,还可以表示出直线 l 上的任意一点. 思考:如何理解直线的方向向量? 1.在空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备几个条件? 2.直线l的方向向量有几个? 3.表示同一条直线的方向向量是相等向量吗? 思考:如何理解直线的方向向量? (1)在空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件: ①是非零向量;②向量所在的直线与直线l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量 都是直线l的方向向量, 且直线l的方向向量有无数个. (3)表示同一条直线的方向向量,由于它们的模不一定相等,因此,它们不一定相等;虽然这些方向向量都与直线平行,但它们的方向不一定相同,还可能相反. 例1 (1)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为_,直线BC1的一个方向向量为_. 类型一 空间中直线的方向向量 1.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z等于 2.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 类型一 空间中直线的方向向量 课本29页 (1)不共线的三点确定一个平面 (2)直线和直线外一点确定一个平面 (3)两条相交直线确定一个平面 (4)两条平行直线确定一个平面 (5)一个定点和两个定方向确定一个平面? a b =x+ = +x+ B C P A O 如何用向量表示空间中的平面? 思考3 B C A 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. ③ 点+两个不共线向量→面 三、空间中平面的向量表示 l (5)一个定点和两个定方向确定一个平面? (6)一个定点和一个定方向确定一个平面? A P 平面过点A,且是唯一的 a 直线l,取直线l的方向向量a,称向量a为平面的法向量. 可以表示为集合{P=0} a b A 如何用向量表示空间中的平面? 思考3 点+一个法向量→面 m n 一个平面的法向量有无数个, 他们之间的关系是共线的 三、空间中平面的向量表示 思考:平面的法向量的性质 平面法向量的性质 (1)法向量是非零向量 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行. 例2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量; 类型二 平面的法向量 (2)求平面MCA1的法向量. ① 找到; ② l 的方向向量即为平面的法向量. 平面的法向量的求法 法一: 设向量 选向量 列方程组 解方程组 赋非零值 得结论 法二: 求平面法向量的方法与步骤 (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 法二: 练1 已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中,分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量. 类型二 平面的法向量 类型二 平面的法向量 3.若n=(2,-3,1)