1.5.1全称量词与存在量词 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5 全称量词与存在量词 全称量词与存在量词 学习目标 素 养 目 标 学 科 素 养 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 1、数学抽象 2、逻辑推理 复习导入 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句.在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此他们不是命题.但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题.我们把这样的短语称为量词.本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确的对含有一个量词的命题进行否定. 问题：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)x>3； (2)2x＋1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数. 【解析】语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假， 所以它们不是命题. 全称量词与全称量词命题 语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定； 语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定； 从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题. 要点 　全称量词和全称量词命题 全称量词 __________、__________、__________、__________ 符号 ∀ 全称量词命题 含有____________的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立 ”，可用符号简记为“________________ ” 所有的 任意一个 一切 任给 全称量词 ∀x∈M，p(x) 概念的巩固应用 假 真 假 素数：质数，一个大于1的整数，除了1和自身外没有其他正因数，则称这个正整数为素数. 若判断其为真命题，则需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立. 若判断其为假命题，则只需在集合M中找到一个元素x, 使得p(x)不成立即可（举反例）. 讨论：怎样判断全称量词命题的真假？ （以“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”为例） 比 较与概括 分 析 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. (1)无法判断真假,不是命题！x范围不明确； (3)可以判断真假，是命题！x范围明确. (有了量词“存在一个”) (2)无法判断真假,不是命题！x范围不明确； (4)可以判断真假！是命题！x范围明确. (有了量词“有一个”) 存在量词 基 本 概 念 1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑用语中通 常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，常见的存 在量词还有“有些”“有一个”“对某些”等. 2.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 3.全称量词命题的符号表示： ∃x∈M, p(x) (“∃”取自“exist”首字母E，为防止“Ex”歧义，反写之！) 例 判别下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0. (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线. (3)有些平行四边形是菱形. 假命题 真命题 假命题 要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题． 思路点拨:寻找量词“存在”“任意”等，根据定义辨析．判断一个全称量词命题为真，必须证明对给定集合中的每一个元素x，命题均成立；要判断一个存在量词命题为真，只要在给定集合中找到一个元素x，使命题p(x)成立即可． 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假： (1) 存在整数x，使得x3<1； (2) 在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (3) 存在一个四边形不是平行四边形； (4) 对任意a，b∈R，若a>b，则 < . 【解】 (1) 该命题为存在量词命题，因为存在整数x＝－1，使得x3＝－1<1，故该命题为真命题． (2) 该命题是全称量词命题，由有序实数对与平面直角坐标系中点的对应关系知该命题为真命题． (3) 该命题是存在量词命题，因为存在四边形不是平行四边