1.4.2 用空间向量研究距离 导学案——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

班级： 学生考号 ： 姓名： 1.4　空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离 【教学目标】 1.知识目标：能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2.能力目标：通过空间中距离问题求解. 3.思政目标：体会向量方法在研究几何问题中的作用，发展数学抽象及逻辑推理素养. 【教学过程】 （一）工具性知识题 1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . （二）能力训练题 题型一 点到平面的距离 例1 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. (1)求证：平面；(2)求点到平面的距离. 题型二 直线、平面到平面的距离 例2 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，垂足为A，，点M在棱PD上，平面ACM．   (1)试确定点M的位置； (2)计算直线PB与平面MAC的距离； (3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得平面PBD？ 例3 在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． (三)拓展与提升 1.如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点. (1)当是棱的中点时，求证：平面； (2)若，，求点到平面距离的范围. (四)总结 1. 2. 3. 1.4.2 用空间向量研究距离参考答案： 例1【详解】（1）因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，即因为，所以，即又因为，平面，平面因此平面 （2）点到平面的距离为在平面的一个法向量上的投影的绝对值，其中，所以点到平面的距离. 例2 【详解】（1）连，则O为BD的中点，连接，因为平面，平面平面，又平面PBD，于是，所以点M为PD中点． （2）因为，则，底面ABCD是正方形，有，底面ABCD，，而，则平面，又平面，因此，∴，，，∴，∴，取AD的中点F，连接MF，则，平面ABCD，且，∵平面ACM，M为PD的中点，∴直线PB与平面MAC的距离为点D到平面MCA的距离，设为h，∵，∴，解得h． （3）以A为原点，AB、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，∴，， 设平面PBD的法向量，则，∴，∴，设，设，则，则，则，即，∵平面PBD，∴，∴，解得，∴E为PC中点．故当点E为PC中点时，平面PBD．   例3 A 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量，则，令得，故，显然平面平面，所以平面与平面之间的距离．故选：A 1．【详解】（1）证明：因为平面，平面，且平面平面，所以.取的中点，连接、，因为是棱的中点，所以，且，因为且，所以，且，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面. （2）解：取的中点，连接.因为是正三角形，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为，，为的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，则，因为，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，设，其中， 则，设平面的法向量，所以，令，得，设点到平面距离为，.当时，；当时，，则，当且仅当时等号成立. 综上，点到平面距离的取值范围是. 第 1 页，共4页 第 页，共4页4 $$