2.3 二次函数与一元二次方程、不等式5题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式5题型分类 一、一元二次不等式 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 二、二次函数图象、方程及不等式的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 三、常用数集及表示符号 1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 四、不等式解法 1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数) 法一：或 法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一：或 法二： ＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k （一） 一元二次不等式的解法 1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边. 2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. （2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. （3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. （5）写解集.根据图象写出不等式的解集. 3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程根的个数:讨论判别式△与0的关系. (3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 题型1：解不含参数的一元二次不等式 1-1．（2023秋·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式的解集为（    ） A．或B． C．D．或 1-2．（2023秋·湖南长沙·高二长沙一中校联考阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 1-3．（2023秋·山东德州·高三统考期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 1-4．【多选】（2023·全国·高一专题练习）下列不等式的解集是空集的是（    ） A． B． C． D． 1-5．（2023·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 1-6．（2023秋·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考开学考试）解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 题型2：解含有参数的一元二次不等式 2-1．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2-2．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x的不等式