1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 导学案——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

班级： 学生考号 ： 姓名： 1.4　空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【教学目标】 1.知识目标：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行或垂直关系. 2.能力目标：能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行或垂直关系. 3.思政目标：通过用向量方法判断或证明直线、平面间的平行或垂直关系，体会向量法在几何中的应用，发展数学抽象及逻辑推理素养. 【教学过程】 （一）工具性知识题 1.直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 2.平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 3.用向量方法判定空间中的平行关系 （1） 线线平行 :只需证明，即. （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①证明，即.②在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量. ③证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可. （3）面面平行 ①转化为相应的线面平行、线线平行即可.②证明，只需证明. 4.用向量方法判定空间的垂直关系 （1）线线垂直:只需证明，即. （2）线面垂直:①证明，只需证明.②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直. （3）面面垂直①证相应的线面垂直、线线垂直.②证明两个平面的法向量互相垂直. （二）能力训练题 题型一 用空间向量研究平行问题 例1 如图，在正方体中，，，，均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（    ）   A． B．平面C．平面平面 D． 题型二 用空间向量研究垂直问题 例2 如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与异面且垂直 B．直线与异面且不垂直 C．直线与相交且不垂直 D．直线与平行 (三)拓展与提升 1.如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，EP//平面 B．当时，取得最小值，其值为 C．的最小值为 D．当平面CEP时， (四)总结 1. 2. 3. 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系参考答案： 例1【详解】依题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示不妨设正方体的棱长为，则 所以，所以，即，亦即，故A正确；所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以，所以，即，又平面，所以平面，故B正确；所以，设平面的一个法向量为，则，，令，则，所以，所以，即，所以平面平面，故C正确；所以,所以和不平行，故D错误.故选：ABC. 例2 根据题意，以点A为原点，分别以AB，AD，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，作图如下：设正方体的棱长为， 则O（，，0），N（，0，），A（0，0，0），M（0，，）， 取，由，则，即ON⊥AM．取的中点，连接，其中交于，如图：明显，又， ，即四点共面，面，面，，直线与异面，直线与异面且垂直故选：A. 1．在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，， ，则点， 对于A，，，，而，显然，即是平面的一个法向量，而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误；对于B，，则，因此当时，取得最小值，B正确；对于C，，于是，当且仅当时取等号，C正确；对于D，取的中点，连接，如图，因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面，连接，连接，连接，显然平面平面，因此，平面，平面，则平面，即有，而，所以，D错误.故选：BC 第 1 页，共4页 第 页，共4页4 $$