24.1.4圆周角-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十四章 圆》 24.1圆的有关性质 22.1.4 圆 周 角 知识点一 圆周角的概念 ◆1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. ◆2、圆心角与圆周角的区别与联系 圆心角 圆周角 区 别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的. 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个. 联 系 两边都与圆相交 知识点二 圆周角定理及其推论 ◆1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. ◆2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图： 即∠ABC =∠AOC ◆3、圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 知识点二 圆内接四边形及其性质 ◆1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. ◆2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 题型一 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的运用 【例题1】（2022•扬州模拟）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB 等于（　　） A．20° B．25° C．35° D．45° 解题技巧提炼 利用“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”结合其它知识来求解. 【变式1-1】（2022秋•郾城区期中）如图，⊙O中，OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上，则下列语句中，错误的是（　　） A．BE＝CE B． C．∠AOB＝2∠ADC D．∠BCD＝∠CBO 【变式1-2】（2022•咸安区模拟）如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠OBC＝20°，则∠ADC等于 　 　度． 【变式1-3】（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．130° 【变式1-4】（2023•平昌县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝6，∠BAC∠BOD，则BE的长为（　　） A． B． C． D．2 【变式1-5】（2022秋•西岗区校级期末）如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是 　 　． 【变式1-6】（2023•蒙城县模拟）如图，以BC为直径的⊙O经过△ABC的顶点A，弦BD平分∠ABC，E是弦BD上一点，且∠ACE＝∠BCE． （1）求证：CD＝DE； （2）若AC＝8，，求⊙O的半径． 题型二 同弧或等弧所对圆周角相等的运用 【例题2】（2022•滨州）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（　　） A．32° B．42° C．52° D．62° 解题技巧提炼 利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”，以及其它的知识来求解. 【变式2-1】（2022•枝江市一模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED的度数是 　 　°． 【变式2-2】如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是弧BAC上一点，则 ∠D的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．20° 【变式2-3】（2023•无为市四模）如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度数是（　　） A．34° B．36° C．38° D．42° 题型三 直径所对的圆周角是90°的运用 【例题3】如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数． 解题技巧提炼 当有直径时，常用直径所对的圆周角是90°，构造直角三角形来进行解题. 【变式3-1】（2022•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【变式3-2】（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 　cm　． 【变式3-3】（2