1.1.2空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2 空间向量数量积的运算 高二数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何 学习目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2.掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法 及运算规律； 3.掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立 体几何中的一些简单的问题 4.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算。 一、回顾旧知 1.平面向量的夹角： 两个非零向量a和6， :作OA=a,OB=b 则∠AB0(0≤0≤180°)叫向量和的夹角 B 注意：在两向量的夹角 定义中，两向量必须是 同起点的 a b b B A 0=90 0=0 0=180 a与b同向 a与.b反向 a与b垂直， 记作a⊥b 2.平面向量的数量积 平面向量的数量积的定义： 两个非零向量和6， 则ad6cos6 叫做向量a,的数量积，记作a.6 即a.b-abcos0 并规定：a.0=0 二、探究新知 1.空间两个向量的夹角的定义 如图，已知两个非零向量和6， 在空间任取一点O, 作OA=a,OB=b,则角∠AOB叫向量a和6的夹角， 记作a,b) 范围0≤(a,b)≤π在这个规定下，两个向量的夹角就 被唯一确定了，并且(a,b)=ba〉 如果ā，b=元，则称与互相垂直， 并记作a⊥b 2.空间两个向量的数量积 设0A=a,则有向线段0的长度叫做向量的长度或模记作 已知空间两个向量a,6则dcos(a,b叫做向量a,的数量积 记作ab,即 aB=aBcos(a.B) 注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量 ②零向量与任意向量的数量积等于零。 3.空间向量的数量积性质 对于非零向量a,b,有： 1) a·e= cos(a.0 2)a⊥b→a.b=0 a 注意：①性质2)是证明两向量垂直的依据； ②性质3)是求向量的长度（模）的依据； 4、投影向量 思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。类 似地，向量a在向量b上的投影有什么意义？向量ā向向量b 的投影呢？向量ā向向量b的投影呢？ 如图1一11①，在空间，向量向向量五投影，1 由于它们是自由向量 ,因此 可以先将它们平移到同一平面α内，进而利用平面α上向量的投影，得到 与向量5共线的向量，c=om台列分 向量称为向量a在向量五上的 投影向量，类似地，可将向值线投影图.1一11(2) b (2) 图1.1-11 5.空间向量的数量积满足的运算律 1)(2a)b=(ab) 2)a.b=ba(交换律) 3)a:(b+c)=ab+ac(分配律) 注意： 数量积不满足结合律 G-b-c≠a(b-c) 三巩固新知 1.例1.1)下列命题成立吗？ ①若ab=ac,则 b X ②若ab=k则 × ®ai-c=a(6c b 2已城-25月96=-则 a与的夹角大小为135