1.4.2 充要条件课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2 充要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 教学目标 理解充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件的意义 （重点） 会判断一些两命题的关系（重点、难点） 充要条件 我们初中学过的勾股定理内容是什么？ 复习回顾 勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2. 在勾股定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件; “a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件. 充分 设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c. 必要 我们初中学过的勾股定理的逆定理内容是什么？ 勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2. ，那么ΔABC为直角三角形. 在勾股定理的逆定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件; “a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件. 必要 设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c. 充分 复习回顾 勾股定理及其逆定理有何关系？ 勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2. ，那么ΔABC为直角三角形. “若p，则q” “若q，则p” 互为逆命题. 1.将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 2. 原命题与逆命题都是真命题. 复习回顾 概念引入 下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 1、若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； 2、若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； 3、若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则a.c<0： 4、若A∪B是空集，则A与B均是空集. 真 真 真 假 假 真 真 真 观察(1)(4)有什么样的共同特点？ 概念引入 概念 概念的理解 理解 如果有命题“若p,则q”和“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形: 常见的四种条件与命题真假的关系 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分 （2）p:两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例 （3）p：xy>0,q:x>0,y>0 （4）p：x=1是一元二次方程 的一个根，q：a+b+c=0( ) P不是q的充要条件 P是q的充要条件 P不是q的充要条件 P是q的充要条件 例 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ 充要条件证明方式一：(1)先证充分性; (2)再证必要性. 先证充分性：设原方程有两根x1,x2, x1<0<x2, 由韦达定理得x1x2=;由x1<0<x2, 得x1x2= ＜０，即ac<0； 再证必要性：由ac<0知 ＜０，又由韦达定理知x1x2=， 所以x1x2<0,即x1、x2一正一负. 求证：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 充要条件的证明 对应练习： 若a, b∈R，求证：“a>b”是“a>b”的充要条件. 提示： 无论证充分性还是必要性，都要针对a,b的正负情况进行分类证明. 充要条件证明方式二：对条件进行等价变形. 若a, b, x, y∈R，求证：的充要条件是. 每一步的变形都必需是等价的！ 表示“等价于”，即充要的意思 充要条件的证明 对应练习： 已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0 (预备知识：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)) 经典例题  题型　 充要条件的应用 经典例题 总结 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.  题型　 充要条件的应用 跟踪训练 经典例题  题型　 充要条件的应用 练习 1．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x<0，y<0 B．x<0，y>0 C．x>0，y>0 D．x>0，y<0 [解析]　P(x，y)在第二象限，等价于x<0，y>0.选B 2．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q的(　　) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　因为{x|－1