第78讲 随机变量及其概率分布、均值与方差-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第78讲 随机变量及其概率分布、均值与方差 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有 与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称 P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 3.离散型随机变量的分布列的性质 ① (i＝1，2，…，n)； ② ＝1. 4.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称E(X)＝ ＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的 (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ 为随机变量X的方并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的 . 5.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ . (2)D(aX＋b)＝ (a，b为常数). 1、（2020年高考浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为，则_______，_______． 2、（2019年高考浙江卷）设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是 则当a在（0，1）内增大时， A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 3、（2018年高考全国Ⅲ卷理数）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 4、【2022年全国甲卷】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 5、【2021年新高考1卷】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 1、若随机变量X的概率分布为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A. (－∞，2] B. [1，2] C. (1，2] D. (1，2) 2、 设随机变量X的概率分布列为 X 1 2 3 4 P m 则P(|X－3|＝1)的值为(　　) A. B. C. D. 3. 口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1.若从袋中摸出5个球，则摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________． 4、已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为　　　　 考向一　分布列的性质 例1、设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5). (1) 求常数a的值； (2) 求P； (3) 求P. 变式1、(1) 已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 P x 则实数x的值为________，P＝________； (2) 设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －