24.1.2垂直于弦的直径（同步课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

人教版数学九年级上册 第24.1.2 垂直于弦的直径 人教版数学九年级上册 学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 人教版数学九年级上册 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 情境引入 人教版数学九年级上册 探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 你能进行推理证明吗？ 互动新授 人教版数学九年级上册 分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上. 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径， A为⊙O上点C，D以外的任意一点. 过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′， 垂足为M，连接OA，OA′.   在△OAA′中，   ∵OA=OA′   ∴△OAA′是等腰三角形   ∵AA′⊥CD   ∴ AM=MA′   即CD是AA′的垂直平分线   这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.   互动新授 人教版数学九年级上册 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 圆的对称性： 从前面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M，那么点A和点A′是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A′重合，AM与A′M重合， ， 分别与 ， 重合.   因此，AM=A′M， ， 即直径CD平分弦AA′，并且平分 ， . 互动新授 你能得出什么结论呢. 人教版数学九年级上册 这样，我们就得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言： ∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB ∴AE=BE,AC=BC,AD=BD ( ( ( ( 互动新授 定理中的两个条件缺一不可: ①过圆心(直径)； ②垂直于弦. 人教版数学九年级上册 进一步，我们还可以得到推论：   平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言： ∵CD是⊙O的直径，AE=BE ∴CD⊥AB,AC=BC,AD=BD ( ( ( ( 互动新授 人教版数学九年级上册 典例精析 例2 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形. 人教版数学九年级上册 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R. ⌒ ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高. ⌒ ⌒ 由题设可知，AB=37m，CD=7.23m 所以，AD=AB=×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.52+(R-7.23)2 解得 R≈27.3(m) 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m 典例精析 人教版数学九年级上册 例3 ☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 分析：分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 典例精析 人教版数学九年级上册 典例精析 例3 ☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． E F 解：当弦AB和CD在圆心同侧时，过点0作OE⊥CD于点E,交AB于点F,连结OA,OC. ∵AB＝24cm，CD＝10cm， ∴CE＝5cm，AF＝12cm， ∵OA＝OC＝13cm，