11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 课件 2023--2024学年人教版八年级数学上册

第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 1 学习目标 1.了解三角形的高、中线及角平分线的概念. 2.掌握三角形的高、中线及角平分线的画法.（重点） 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 2.线段中点的定义： 3.角平分线的定义： 1.垂线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 把一条线段分成两条相等的线段的点。 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 相关知识回顾 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形这边上的高，简称三角形的高。 解： 如图, 线段AD是BC边上的高. 锐角△ABC,请你画出BC边上的高. A B C 注意 标明垂直的记号和垂足的字母 D A B C D (1)这三条高之间有怎样的位置关系？ O (2)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? A B C D E F 解：三条高线交于内部一点 解：三条高线都在三角形的内部 锐角三角形的三条高 (1)直角边BC边上的高是____; AB 直角边AB边上的高是 ; BC (2)它们有怎样的位置关系？ 斜边AC边上的高是______. BD 直角三角形的三条高 C A B D 解：三条高线交于直角顶点 请你动手画出一个锐角三角形的中线，可以画几条？ 它们有怎样的位置关系？钝角三角形的中线有同样的 位置关系吗？直角三角形呢？ ● 三角形的中线有3条；它们相交于内部于一点。 ● ● ● ● ● ● ● ● 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 例 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) 方法总结：判断一条线段是否为三角形的高的方法： 一看顶点：三角形的高一定过该边所对的顶点. 二看垂足：三角形的高的垂足在顶点的对边或对边延长线上. D 在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段, 叫做这个三角形这边的中线. A B C D ∵AD是△ ABC的中线 ∴BD=CD= 1 2 BC 任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么? ● ● 三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部. 三角形中线的理解 E F O 重心 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 8 8 A B C D ∵AD是△ ABC的中线 ∴BD=CD= 1 2 BC 任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么? ● ● 三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部. E F O 重心 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 9 9 ②三角形的中线是一条线段。 ①任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交与一点，这个点叫作三角形的重心。 ③三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。 典例精析 例 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________. 提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差. 7cm 问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ A C B O ∠AOC= ∠BOC 问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗? A B C D 想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗? 相同点是： ∠ABD= ∠ CBD; 不同点是：前者是线段，后者是射线. 画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC的于点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的角平分线. ∵ ∠ ABD= ∠ CBD ∴ AD是△ABC的角平分线 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠ ABD= ∠ CBD A B C D A C B F E D O 三角形的三条角平分线线交于一点 ∵BE是△ABC的角平分线 ∴____=_____= _____ ∴∠ACB=2______=2______ ∠ABE ∠CBE ∠ABC ∠ACF ∵CF是△ABC的角平分线 ∠BCF 做一做: 任意画一个三角形,然后利用量角器画出 这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么? 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°， ∴∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中， ∠