第03讲 绝对值相加求最值问题专题探究-【专题突破】2023-2024学年七年级数学上册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第3讲 绝对值相加求最值问题专题探究 【知识点睛】 · 绝对值内表达式加减的几何意义 |a|：表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离 |x-a|：表示数轴上的数x到数a的距离 |x+a|：因为|x+a|=|x-(-a)|,所以可表示数轴上的数x到数-a的距离 · 绝对值相加求最小值的方法总结： ①|x-a|最小值=0 点x与点a重合（即x=a） ②|x-a|+|x-b|：表示数轴上点x到点a、点b的距离之和 当|x-a|+|x-b|取最小值时 点x位于点a、点b之间（可以与a、b重合） |x-a|+|x-b|最小值=|a-b| ③|x-a|+|x-b|+|x-c|：表示数轴上点x到点a的距离、点x到点b的距离和点x到点c的距离之和 若a＜b＜c，则当点x与点b重合时 |x-a|+|x-b|+|x-c|最小值=c-a · 易错技巧总结： 若求|x-a|+|x+b|、|x-a|+|x+b|+|x-c|等类型的最小值，则表示求点x到点a、点-b的距离之和最小，将-b表示出来后，方法同上 【例题】 1．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题： （1）当a＝　 　时，|a﹣4|有最小值，此时最小值为 　 　． （2）当a取何值时，|a﹣1|+3有最小值？这个最小值是多少？ （3）当a取何值时，4﹣|a|有最大值？这个最大值是多少？ 2．式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m＝　 　时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是　 　． 3．计算|x﹣1|+|x+2|的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．化简并填空： （1）当﹣≤x≤1时，化简|3x+1|﹣2|x﹣1|； （2）当|x|+|x+4|最小时，|3x+1|﹣2|x﹣1|的最大值为　 　． 5．代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 　 　． 6．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 （1）求|5﹣（﹣2）|＝　 　； （2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝　 　 （3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是　 　． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 7．【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）若|x﹣2|＝5，则x＝　 　； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3． （3）由以上探索猜想，对于任意有理数x，|x﹣2|+|x+3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 8．综合应用题： |m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． （1）|x|的几何意义是数轴上表示 　 　的点与 　 　之间的距离，|x|　 　|x﹣0|；（选填“＞”“＜”或“＝”） （2）|2﹣1|几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离，则|2﹣1|＝　 　； （3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示 　 　的点与表示 　 　的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝　 　； （4）|x﹣（﹣2）|的几何意义是数轴上表示 　 　的点与表示 　 　的点之间的距离，若|x﹣（﹣2）|＝2，则x＝　 　； （5）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣（﹣5）|+|x﹣2|＝7这样的整数是 　 　． 9．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是　 　；表示﹣2和1两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （2）如果|x+1|＝2，那么x＝　 　； （3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　 　，最小距离是　 　． （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝　 　． （5）当a＝　 　时，