第三节空间向量基本定理讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三节 空间向量基本定理 考点梳理 1、空间向量基本定理 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，},常称为空间向量的一组基底.此时，、、都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 说明 （1） 空间中的任意三个不共面的向量都可以作为一组基底； （2）向量分别称为向量在、、上的分解向量. 2、空间向量的正交分解 （1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. （2）正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 说明 （1）一般选择有公共端点的三条长度和夹角均已知的棱为基底； （2）有了单位正交基底，我们就可以建立空间直角坐标系，进而确定空间向量的直角坐标了. 例题分析 一、基底的辨析与判断 例1、（2022·深圳市罗湖外语学校高二期末）（多选）给出下列命题，其中正确的有（  ） A．空间任意三个向量都可以作为一个基底 B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．、、、是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面 D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 例2、（2023·重庆市育才中学高二练习）（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 点睛：不共面的三个向量才能构成空间向量的一组基底，通常用观察法，即看能否用其中的任意两个向量把第三个向量表示出来.对于比较复杂，不好观察的，可建立向量方程求解，如果方程有解，则不能构成基底. 二、用空间基底表示向量 例3、（2022秋·安徽阜阳太和中学高二校考竞赛）在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，，则（  ） A． B． C．2 D．3 三、基底的应用 例4、（2022·广州协和中学高二期末）已知是空间的一个基底，且，，若，则（  ） A． B． C．3 D． 例5、已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（  ） A．若，则 B．两两共面，但不共面 C．一定存在x，y，使得 D．一定能构成空间的一个基底 例6、（2023·全国·高二专练）半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若，，，则（  ） A． B． C． D． 四、正交分解 例7、（2022·全国·高二练习）设是空间向量的一个单位正交基底，，则，的坐标分别为 ． 点睛：如果是空间的一个基底，且,那么三维有序数组称为向量在基底下的坐标,记作. 例8、（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）（多选题）如图，已知正方体的棱长2，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则以下坐标表示的点在平面中的是（  ） A． B． C． D． 例9、（2021·安徽·桐城市第八中学高二练习）已知向量是空间的一基底，向量是空间的另一基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（  ） A． B． C． D． 五、综合能力提高 例10、（2023·全国·高二专题练习）如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（  ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为 D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三节 空间向量基本定理 考点梳理 1、空间向量基本定理 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，},常称为空间向量的一组基底.此时，、、都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 说明 （1） 空间中的任意三个不共面的向量都可以作为一组基底； （2）向量分别称为向量在、、上的分解向量. 2、空间向量的正交分解 （1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. （2）正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 说明 （1）一般选择有公共端点的三条长度和夹角均已知的棱为基底； （2）有了单位正交基底，我们就可以建立空间直角坐标系，进而确