第二十四章 相似三角形（11个知识归纳+10类题型突破）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）

第二十四章 相似三角形（11个知识归纳+10类题型突破） 1.　掌握线段的比与成比例线段的概念； 2.　掌握黄金分割的相关概念； 3、掌握相似三角形的性质与判定 4、掌握平面向量的概念及其线性运算； 知识点一、线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点二、比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 知识点三、黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 知识点四、相似图形 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 相似多边形 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 知识点五、平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 图形： 几何语言： ∵l1∥l2∥l3， ∴，， 推论 平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。 图形： 几何语言： ∵DE∥BC，∴， ， 知识点六、相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 知识点七、相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 知识点八、位似图形 定义 两个相似图形，如果对应点的连线交于同一点，对应边平行或在同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． 性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比． 画位似图形 的步骤 （1） 确定位似中心； （2） 连结原图形中关键点与位似中心的线段（或延长线）； （3） 按相似比进行取点； （4）顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形。 知识点九、相似三角形模型 模型一： A、8模型 已知：，结论 模型二： 共边共角型 已知：，结论： 模型三： 一线三角型 模型四： 相似与旋转 模型五： 垂直相似 结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC； ②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB； ③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA. 知识点十 向量的相关概念 1、平面向量的相关概念 （1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量； （2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； （3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作； （4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； （5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； （6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 2、平面向量的加减法则 （1）几个向量相加的多边形法则； （2）向量减法的三角形法则； （3）向量加法的平行四边形法则． 3、实数与向量相乘的运算 设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作． （1）如果，且，那么的长度； 的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向． （2）如果k = 0或，那么． 4、实数与向