1.1.1 空间向量及其线性运算 教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

《1.1.1空间向量及其线性运算》教学设计 1、 教学内容解析 《1.1空间向量及其运算》是人教A版《普通高中教科书·数学(选择性必修)》第一册(以下简称“教科书”) 第一章《空间向量与立体几何》的第一节内容，包括“空间向量及其线性运算”和“空间向量的数量积运算”两小节内容，其中第1课时“空间向量及其线性运算”要学习的核心知识有: 空间向量的概念;零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量、共面向量；空间向量的加法、减法以及数乘运算．这些核心知识是后续学习空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示、应用空间向量解决立体几何图形位置关系与度量关系的基石． 2、 学情分析 在学习本节课内容之前，学生已在人教A版必修第二册中学习了《平面向量及其应用》和《立体几何初步》内容．大致了解了平面向量的基本研究思路与框架即“实际背景→基本概念→向量运算( 线性运算、数量积) →向量基本定理及坐标表示→向量的应用”，这也是研究和学习空间向量的基本研究思路． 3、 教学目标 （1）了解空间向量的实际背景；理解空间向量及相关概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘运算； （2）经历由平面向量的概念、运算推广到空间向量的过程；通过空间向量加法结合律的证明体会维数增加对向量推广带来的变化； （3）在借助几何图形解释空间向量相关概念中进一步发展直观想象核心素养，领悟数形结合的思想方法，提升数学运算和逻辑推理能力; 从平面向量推广得到空间向量、空间向量问题转化为平面向量问题的过程中提升数学抽象素养，领悟类比、特殊与一般、转化与化归等思想. 4、 教学重难点 重点: 空间向量及其相关概念，空间向量的线性运算； 难点: 空间向量加法结合律的证明，空间向量的线性运算． 五、教学策略分析 本节课采用创设问题情境，设置问题链引导学生类比平面向量层层深入学习空间向量的概念、线性运算、运算律和位置关系等内容．学生通过自主探究、交流、师生互动等教学活动参与学习过程，突破学习中的难点和疑点．利用PPT等教学软件绘制图形、平移图形、展示图片，借助几何直观图形帮助学生分析和理解概念． 六、教学过程设计 1、情境引入 如图所示，一只蚂蚁从A点出发，一直沿着棱爬行，先爬行到B点，再爬行到C点，那么它的实际位移是什么？若蚂蚁继续沿着棱从C点向上爬行到C1点，那么它的实际位移是什么？ 追问：位移在数学中可以用什么概念表示？这些向量是否位于同一平面？ 【设计意图】通过学生情境引入，引导学生回忆熟悉的平面向量，同时发现空间向量，感受到与平面向量的差异，进而激发学生的求知欲． 师：通过平面向量及其应用的学习，我们知道平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，他们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系，可以通过平面向量运算得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决。在立体几何初步中，我们用综合几何的方法研究了空间几何体的结构特征以及空间中点、直线、平面的位置关系，一个自然的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题。从本章开始，我们就来研究这些问题。 2、新知探究 （1）空间向量的相关概念 问1：平面向量是如何定义的？你认为空间向量又该如何定义？ （平面内，既有大小又有方向的量 空间中，既有大小又有方向的量） 问2：回顾平面向量，学过定义后我们紧接着学习了什么内容？这些内容能推广到空间向量吗？ 【设计意图】学生思考、交流讨论，在思考交流中提升，在提升中提炼，在提炼中小结. 问3：若将空间中所有单位向量的起点移至同一点，则它们的终点构成什么轨迹？ 【设计意图】 通过问3和练习１，进一步加强学生对空间向量概念内涵的理解，有利于学生形成空间向量的概念域、概念系． （2）空间向量的线性运算及运算律 问4:继续类比平面向量的研究过程，在当时学习了平面向量相关概念后，接着研究了什么内容？ 问5:平面向量的线性运算对空间向量成立吗？ （空间任意两个向量都可以通过平移转化为同一个平面内的向量） 【设计意图】通过类比的手段得到空间向量的线性运算法则，类比是本节课的主要思想方法．立足立体几何知识，为学生学习空间向量找到知识生长点; 利用实物、信息技术实现师生更深入的交流互动，课堂内容更加生动直观． 问6:平面向量的线性运算有哪些运算律？ 问7：能推广到空间向量吗？加法的结合律该如何证明？ 问8：一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系吗？ （起点相同的三个不共面向量之和，即以这三个向量为棱的平行六面体的以公共起点为起点的对角线所示向量.） 3、知识应用 例1、空间四边形ABCD中,E、F分别是BC、CD边的中点,化简下列表达式，并在图中标出化简结果： 【设计意图】通过例题与练习２