2.4.2 圆的一般方程（导学案） -【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4.2 圆的一般方程 导学案 学习目标 1.通过将圆的标准方程变形成一般方程，理解圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的联系，培养学生数学抽象的核心素养. 2.通过对圆的一般方程和标准方程的互化，能正确理解圆的一般方程中系数所满足的条件，发展学生数学运算的核心素养. 3.通过具体例题的讲解，能掌握求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升学生逻辑推理和直观想象的核心素养. 重点难点 1.重点：掌握圆的一般方程及其特点并会求圆的一般方程. 2.难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题. 课前预习 自主梳理 知识点　圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时，二元二次方程称为圆的一般方程． 2．方程表示的图形 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以 为圆心，以 为半径的圆 思考： 若二元二次方程 表示圆, 需满足什么条件? 提示 (1) ; (2) ; (3) . 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　) (2)二元二次方程一定是某个圆的方程．(　　) (3)若方程表示圆，则有E≠0.(　　) (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　) 2.圆的圆心为（    ） A． B． C． D． 3.已知点在圆的内部，则（    ） A． B． C． D． 4.方程表示圆心在直线上的圆,则该圆的半径为（   ） A． B．2 C． D．6 5.如果方程表示圆，则的取值范围是 A． B． C． D． 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 问题1：我们知道，方程表示以为圆心，2为半径的圆．可以将此方程变形为． 一般地，圆的标准方程可以变形为 （2） 的形式．反过来，形如（2）的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？ 师生活动：（1）学生们热烈讨论，教师适当引导提示. （2）追问1：方程表示什么图形？ （3）学生自主对方程进行配方得到，学生总结“该方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆”. （4）追问2：方程表示什么图形？ （5）学生通过配方得到，由于不存在这样的使方程成立，所以该方程不能表示任何图形. 环节二 观察分析，感知概念 例如，对于方程，对其进行配方，得，因为任意一个点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形．所以，形如（2）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程．这表明，形如（2）的方程不一定是圆的方程． 环节三 抽象概括，形成概念 问题2：方程中的，，满足什么条件时，这个方程表示圆？ 将方程（2）的左边配方，并把常数项移到右边，得 ． （1）当时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程（2）表示以为圆心，为半径的圆； （2）当时，方程（2）只有实数解，，它表示一个点； （3）当时，方程（2）没有实数解，它不表示任何图形． 因此，当时，方程（2）表示一个圆．我们把方程（2）叫做圆的一般方程(general equation of circle)． 环节四 辨析理解,深化概念 问题3：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 例4求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 与例2的方法比较，你有什么体会？ 师生活动：（1）教师引导学生观察和思考，根据两个方程的形式特点，启发学生得出结论. （2）学生回答：圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径（重“形”）,而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数特征非常明显（重“数”）. （3）求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径 求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于，，或，，的方程组； （3）解出，，或，，，得到标准方程或一般方程． 问题4：与课本P83例2的方法比较，有什么体会呢？ 师生活动：（1）教师引导学生观察比较两种运算量的区别，启发学生思考哪种运算更简洁. （2）学生自主讨论得出结论：例4的解答过程中，教科书选择了先求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然是待定系数法来解.这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.容易的原因是得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组.而用圆的标准方程的话，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项.一般来说，解一次方程比解二次方程容易. （3）追问1：请同学们总结用待定系数法求圆的方程的大致步骤: ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于或的方程组； ③解出或，得到标准方程或一般方程. 环节五 概念应用，巩固内化 问题5：请同学们