2.4.2 圆的一般方程（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4.2 圆的一般方程 （教学设计） 1、 课时教学内容 圆的一般方程 2、 课时教学目标 1.通过将圆的标准方程变形成一般方程，理解圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的联系，培养学生数学抽象的核心素养. 2.通过对圆的一般方程和标准方程的互化，能正确理解圆的一般方程中系数所满足的条件，发展学生数学运算的核心素养. 3.通过具体例题的讲解，能掌握求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升学生逻辑推理和直观想象的核心素养. 3、 教学重点、难点 1.重点：掌握圆的一般方程及其特点并会求圆的一般方程. 2.难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 问题1：我们知道，方程表示以为圆心，2为半径的圆．可以将此方程变形为． 一般地，圆的标准方程可以变形为 （2） 的形式．反过来，形如（2）的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？ 师生活动：（1）学生们热烈讨论，教师适当引导提示. （2）追问1：方程表示什么图形？ （3）学生自主对方程进行配方得到，学生总结“该方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆”. （4）追问2：方程表示什么图形？ （5）学生通过配方得到，由于不存在这样的使方程成立，所以该方程不能表示任何图形. 环节二 观察分析，感知概念 例如，对于方程，对其进行配方，得，因为任意一个点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形．所以，形如（2）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程．这表明，形如（2）的方程不一定是圆的方程． 师生共同总结：这表明形如的方程不一定是圆的方程. 设计意图：引导学生认识圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的关系. 环节三 抽象概括，形成概念 问题2：方程中的，，满足什么条件时，这个方程表示圆？ 将方程（2）的左边配方，并把常数项移到右边，得 ． （1）当时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程（2）表示以为圆心，为半径的圆； （2）当时，方程（2）只有实数解，，它表示一个点； （3）当时，方程（2）没有实数解，它不表示任何图形． 因此，当时，方程（2）表示一个圆．我们把方程（2）叫做圆的一般方程(general equation of circle)． 设计意图：由特殊到一般，引导学生思考，总结，从而自然引出方法，得到结论，培养学生的逻辑思维能力，类比迁移能力；再由一般到特殊，检验学生的掌握情况和应用水平. 环节四 辨析理解 深化概念 问题3：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 例4求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 分析：将，，点的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程． 解：设圆的方程是 ． ① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于，，的一个三元一次方程组 解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是． 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径． 与例2的方法比较，你有什么体会？ 师生活动：（1）教师引导学生观察和思考，根据两个方程的形式特点，启发学生得出结论. （2）学生回答：圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径（重“形”）,而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数特征非常明显（重“数”）. （3）求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径 求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于，，或，，的方程组； （3）解出，，或，，，得到标准方程或一般方程． 设计意图：培养学生的独立思考能力，总结归纳的能力.通过归纳总结使学生明白两个方程的区别并促进学生思考在不同的情境下使用不同的方程. 问题4：与课本P83例2的方法比较，有什么体会呢？ 师生活动：（1）教师引导学生观察比较两种运算量的区别，启发学生思考哪种运算更简洁. （2）学生自主讨论得出结论：例4的解答过程中，教科书选择了先求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然是待定系数法来解.这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.容易的原因是得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组.而用圆的标准方程的话，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项.一般来说，解一次方程比解二次方程容易. （3）追问1：请同学们总结用待定系数法求圆的方程的大致步骤: ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于或的方程组； ③解出或，得到标准方程或一般方程. 设计意图：通过对比两种解题方法，加深学生思考，优化解题步骤，培养学生良好的数学思维习惯和反思总结的能力 环节五 概念应用，巩固内化