第20讲 函数的单调性9种常见题型-2023-2024学年高一数学考点方法题型总结（人教A版2019必修第一册）

第20讲 函数的单调性9种常见题型 【考点分析】 考点一：函数单调性的定义 如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。 考点二：单调性的定义的等价形式： 设，那么在是增函数； 在是减函数； 在是减函数。 在是增函数。 考点三：函数单调性的应用 即若在区间上递增（递减）且()； 若在区间上递递减且.(). 考点四：函数单调性的性质 在公共定义域内，则 ①增函数增函数是增函数； ②减函数减函数是减函数； ③增函数减函数是增函数； ④减函数增函数是减函数。 考点五：双勾函数及其性质 函数叫做双勾函数 在上单调递增；在上是单调递减。 考点六：复合函数单调性的判断（同增异减） 讨论复合函数的单调性时要注意： ①若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数; ②若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下: 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 题型一：用定义法证明函数单调性 证明函数单调性的步骤: ①取值:设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号:判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． 【精选例题】 【例1】已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明； (2)若，求函数的最大值和最小值. 【例2】已知函数. (1)判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义证明你的结论； (2)求函数在上的最大值和最小值. 【例3】已知函数. (1)求函数的定义域； (2)用定义法证明：在上单调递增； (3)求在上的最大值与最小值. 【例4】已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【跟踪训练】 1.已知函数，且 . (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明. 2.判断 在 的单调性. 3.已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 4.已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明. (2)若时函数的最大值与最小值的差为，求的值. 5.已知函数的表达式为． (1)当，，时，证明：函数在区间上是严格增函数； (2)当，时，求函数在区间上的最大值． 题型二：抽象函数单调性的判断证明 解题思路：此类题目一般用定义法证明 类型一：型 【精选例题】 【例1】已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，.试判断在的单调性，并证明； 【跟踪训练】 1.已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性。 2．定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 类型二：型 【精选例题】 【例1】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有. （1）试说明：函数是上的单调递减函数； 【跟踪训练】 1.已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性。 类型三：型 【精选例题】 【例1】已知定义域为，对任意都有，且当时，.(1)试判断的单调性，并证明； 【跟踪训练】 1.已知定义域为，对任意都有，且当时，. (1)试判断的单调性，并证明； 题型三：函数单调性定义的理解（注意对于任意字样） 如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。注意单调区间不能用“”，只能用“和”或者“，” 【精选例题】 【例1】（多选题）下列命题正确的是（ ） A．若对于，，，都有，则函数 在R上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数 在R上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在R上也是增函数 【例2】（多选题）下列命题中为真命题的是（    ） A．定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上单调递增 B．如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在区间上就一定单调递减 C．，且，当时，在上单调递减 D．，且，当时，在上单调递增 【跟踪训练】 1.（多选题）下列说法中正确的个数是（    ） A．已知区间，若对任意的，当时，，则在上是增函数 B．函数在上是增函数 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的单调区间是和 2.（多选题）给出下列命题，其中是错误命题的是（       ） A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，4]. B．函数的单调递减区间是 C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数. D．是在定义域内的任意两个值，且，若，则减函数. 题