4.6 利用相似三角形测高（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（北师大版）

第四章 图形的相似 第6节 利用相似三角形测高 学习目标 1.通过测量旗杆的高度的活动，并复习巩固相似三角形有关知识.（重点） 2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点） 情景引入 怎样测量这些非常高大物体的高度？ 乐山大佛 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？ 三边成比例的两个三角形相似 1— 观测者的身高可测量 旗杆影长可测量 根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？ 观测者的影长可测量 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. A B C D E F D F E A B C 怎么办？ A B C D E F A D F E B C ∵太阳的光线是平行的 ∴ AB∥DE 又∵B、C、E、F在一条直线上 ∴ ∠ABC= ∠DEF ∵人与旗杆是垂直于地面的 ∴∠ACB= ∠DFE ∴△ABC∽△DEF 因为同学的身高AC和她的影长BC及同一时刻旗杆的影长EF均可测量得出，所以代入测量数据即可求出旗杆DF的高度。 观测者适当调整自己的位置，使旗杆顶端、标杆顶端、自己的眼睛恰好在一条直线上。 观测者的身高可测量 观测者到标杆底端的距离可测量 观测者到旗杆底端的距离可测量 标杆的高可测量 根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？ 测量原理 用标杆与被测物体平行构造相似三角形. 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. 特别提醒: 利用标杆测量物体的高度是生活中经常采用的方法，使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，注意标杆与地面要垂直，同时被测物体底部可以直接到达. ∴ ∵人与标杆的距离AM、人与旗杆的距离AN、标杆与人眼到地面距离的差EM都可测量出 ∴能求出CN ∵四边形ABDN为矩形 ∴DN=AB ∴能求出旗杆CD的高度CD=CN+DN 过A作AN⊥CD交EF于M ∵人、标杆和旗杆是互相平行的 ∵EF∥CN ∴ ∠AME= ∠ANC ∵∠EAM= ∠CAN ∴△AME∽△ANC ∴ A B C D E F M N 例1.某一时刻，身高1.6m的小明在太阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是( ) A．1.25 m B．10 m C．20 m D．8 m 典例精析 解：设该旗杆的高度是xm，根据题意，得1.6∶0.4=x∶5， 解得x=20，即该旗杆的高度是20m. 答案：C 典例精析 例2.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上. 已知纸板的两条直角边DE=40 cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= ____m. 解：∵∠DEF =∠BCD=90°，∠D=∠D， ∴△DEF∽△DCB.∴= . ∵ DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，CD=8m， ∴= . ∴ BC=4m.∴ AB=AC+BC=1.5+4=5.5(m). 答案：5.5 你还有哪些测量旗杆高度的方法？ 利用镜子的反射测量物体的高度 想一想 在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合. 你知道需要测量哪些数据吗？根据你所测的结果你能求出旗杆的高度吗？ 光线的入射角等于反射角 A B C D E △EAD∽△BAC 代入测量数据即可求出旗杆BC的高度. 典例精析 例3.如图 是一名同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处水平放一平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2m，BP=3m，PD=12m，求该古城墙CD的高度. 解：如图，过P作PE垂直BD. 由题意可得∠CPE=∠APE，∴∠CPD =∠APB. ∵ AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP =∠CDP=90° . ∴△ABP∽△CDP. ∴= . ∵ AB=2m，BP=3m，PD=12m，∴= .∴ CD=8m. 答：该古城墙CD的高度为8m. 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( ) A. 45米