第10章 空间直线与平面（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）

第10章 空间直线与平面（知识归纳+题型突破） 一、 点、直线、平面之间的关系 ㈠ 平面的基本性质 1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化 图形语言 文字语言 符号语言 点A在直线a上 点B在直线a外 A∈a Ba 点A在平面α内 点B在平面α外 A∈α Bα 直线a在平面α内 直线b在平面α外 aα bα 直线a与平面α相交于点A a∩α=A 直线a与直线b相交于点A a∩b=A 平面α与平面β交于直线a α∩β=a ★2 平面的基本性质 公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理二：不共线的三点确定一个平面。 推论一：直线与直线外一点确定一个平面。 推论二：两条相交直线确定一个平面。 推论三：两条平行直线确定一个平面。 公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。 ㈡ 空间图形的位置关系 1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面) 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。 即：a∥b，b∥c a∥c 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 异面直线 ⑴ 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 ⑵ 判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。 即：图1-1 异面直线 异面直线所成的角 ⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。 注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 图1-2 直线与平面的位置关系 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。 判定定理： 性质定理： 判断或证明线面平行的方法 ⑴ 利用定义(反证法)：l ∩ α = ф ，l∥α (用于判断)； ⑵ 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)； ⑶ 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)； ⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。图1-3 线面角 2 线面斜交和线面角：l ∩ α = A 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°； 当直线垂直于平面时，θ=90° 3 面面平行 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。 面面平行的判定定理： ⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即：图1-4 面面平行 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即： ⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即： 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直)图1-5 判定2 1 线面垂直 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 线面垂直的判定定理： 线面垂直的性质定理： ⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。 即： ⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。 即： 常用的判定或证明线面垂直的依据 ⑴ 利用定义，用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明。 ⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。 ⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。 ★ 三垂线定理及其逆定理 ⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。 如图：图1-6 斜线定理 ⑵ 三垂线定理及其逆定理 已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内的一条直线。 ① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。 ② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。 ⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直；图1-7 三垂线