专题06 立方根-2023-2024学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题06立方根 【知识梳理】 知识点01立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【点石成金】 一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点02立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【点石成金】 任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点03立方根的性质 【点石成金】 第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点04立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【题型探究】 题型一、立方根 1.求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 解：（1） （2） （3） （4） （5） 【总结】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方. 2.计算： （1）______；（2）______； （3）______．（4）______. 【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）. 题型二、解立方根方程 3.（x﹣2）3=﹣125． 【点拨】利用立方根的定义开立方解答即可． 【解析】 解：（x﹣2）3=﹣125， 可得：x﹣2=﹣5， 解得：x=﹣3． 【总结】此题考查立方根问题，关键是先将x﹣2看成一个整体． 4．求下列各式中的值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据解方程的方法和平方根的定义可以解答本题； （2）根据解方程的方法和立方根的定义可以解答本题． 【详解】 解：（1） 或； （2） 【点睛】 本题考查立方根、平方根、解方程，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 题型三、比较大小 5．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据乘方运算，可得平方根、立方根，根据绝对值，可得绝对值表示的数，根据正数大于负数，可得答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题考查了实数比较大小，先化简，再比较，解题的关键是掌握乘方运算，绝对值的化简． 题型四、立方根（拓展） 6．本章《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 运算 求一个数的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：的平方根是；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以表示为“” 一个数的立方根可以表示为“” 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． （类比探索） （1）探索定义：填写下表 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： 　　　　． （2）探究性质： ①的四次方根是　　　　；②的四次方根是　　　　； ③的四次方根是　　　　；④的四次方根是　　　　； ⑤的四次方根是　　　　；⑥　　　　（填“有"或"“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： 　　　　； （3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　　　　． （拓展应用） （1）　　　　； （2）　　　　； （3）比较大小：　　　　． 【答案】【类比探索】（1）依次为：±1，±2，±3；一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根；（2）①；②；③；④；⑤；⑥没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根；（3）类比、分类讨论、从特殊到一般等．【拓展应用】（1）；（2）；（3）． 【分析】 （1）先计算填表，在类比平方根，立方根的定义，即可给四次方根下定义； （2）根据四次方根的定义求解，类比平方根，立方根的的性质即可得到四次方根的性质特征； （3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，利用四次方根的定义求解，再计算并比较两个数的四次方，进而得出答案． 【详解】