专题05 平方根-2023-2024学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题05平方根 【知识梳理】 知识点01平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”. 【点石成金】 当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 知识点02平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 【点石成金】 （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点03平方根的性质 知识点04平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【点石成金】 一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 【题型探究】 题型一、平方根与算数平方根 1.下列说法错误的是（　　） A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根 C.的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C； 【解析】 利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项． A.因为＝5，所以本说法正确； B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确； C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误； D.因为＝0，＝0，所以本说法正确； 【总结】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 2.填空： （1）是 的负平方根． （2）表示 的算术平方根， ． （3）的算术平方根为 ． （4）若，则 ，若，则 ． 【点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根. 【解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3 【总结】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 题型二、平方根与算术平方根的性质 3.已知x-1的平方根为±2，3x+y-1的平方根为±4，求，3x+5y的算术平方根． 【点拨】根据平方根的平方等于被开方数即可求解． 【解析】 解：由x-1的平方根为±2，得x-1=4，x=5 由3x+y-1的平方根为±4，得3x+y-1=16， ∵x=5 ∴3×5+y-1=16， 解得y＝2， ∴3x+5y=25 25的算是平方根为5. 【总结】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的那个叫做这个数的算术平方根． 4.已知2－1与－＋2是的平方根，求的值. 【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数. 解：①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝ ②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以 5.已知，求的算术平方根． 【答案】 解：根据题意，得则，所以＝2，∴， ∴的算术平方根为． 6.求下列各式的值． (1)；(2)． 【点拨】 （1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序. 【解析】 解： (1)； (2)． 【总结】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解． 题型三、二次根号下有意义 7.为何值时，下列各式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】 解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义． (2)由题意可知：，所以时，有意义． (3)由题意可知：解得：．所以时有意义． (4)由题意可知：，解得且． 所以当且时有意义． 【总结】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 8.若x，y为实数，且满足．求的值． 【解析】 解：∵+|y﹣|=0， ∴x=，y=， 则原式==1． 【总结】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x，y，然后代入求值即可. 9.若，求的值． 【答案】 解：由，得，，即，． ①当＝1，＝－1时，． ②当＝－1