课时2.1.2两条直线平行和垂直的判定（考点讲解+同步练习）-2023-2024学年高二数学教材配套全讲与精练（人教A版2019选修第一册）

课时2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 本节预览 01知识点梳理 知识点1 两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 证明如下： 设两条直线的斜率分别为． 如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即．∴，∴． 反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么． 由于，∴．又两条直线不重合，∴． 知识点2 两直线垂直 1.特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 证明如下： 设两条直线与的倾斜角分别为与． 如果，这时．否则，则，与相矛盾． 设（如下图）， 图（1）的特征是与的交点在x轴上方； 图（2）的特征是与的交点在x轴下方； 图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有． ∵，的斜率分别是，且，∴． ∴． ∴，即． 反过来，若，即． 不失一般性，设，则，即， ∴． 02考点解读 考点1 两条直线平行关系的判定 【例1】直线l1：2x+3y﹣2＝0，l2：2x+3y+2＝0的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合 解：直线l1：2x+3y﹣2＝0，l2：2x+3y+2＝0， 则＝≠， 故l1∥l2． 故选：B． 【跟踪训练】已知直线方程l1：2x﹣4y+7＝0，l2：x﹣2y+5＝0，则l1与l2的关系（　　） A．平行 B．重合 C．相交 D．以上答案都不对 解：∵直线l1方程：2x﹣4y+7＝0，∴直线l1的斜率k1＝ 同理可得直线l2的斜率k2＝ ∴k1＝k2， ∵两条直线在y轴上的截距分别为和，不相等 ∴l1与l2互相平行 故选：A． 考点2 两条直线平行关系的应用 【例2】直线l1：mx+2y+1＝0，l2：x+（m﹣1）y﹣1＝0，若l1∥l2，则m＝　 　． 解：直线l1：mx+2y+1＝0，l2：x+（m﹣1）y﹣1＝0，l1∥l2， ∴m（m﹣1）＝2，且， 则m＝2． 故答案为：2． 【跟踪训练】已知直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝2，若l1∥l2，则实数a的值等于　 　． 解：∵直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝2，若l1∥l2， ∴1﹣a2＝0，即a2＝1，解得：a＝±1． 检验成立． 故答案为：±1． 考点3 两条直线垂直的判定及应用 【例3】直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（　　） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 解：设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2， ∵直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，∴k1k2＝﹣1． ∴l1⊥l2． 故选：D． 【跟踪训练】两条直线l1：2x+y+c＝0，l2：x﹣2y+1＝0的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．重合 D．不能确定 解：直线l1的斜率是：﹣2， 直线l2的斜率是：， 由﹣2×＝﹣1，得直线垂直， 故选：B． 考点4 直线平行、垂直的综合应用 【例4】若直线l1过点（1，1），（2，﹣1），直线l2过点（2，1），（x，3），且l1⊥l2，则x等于（　　） A．1 B．﹣2 C．6 D．﹣1 解：由题意可知直线l1的斜率为，直线l2的斜率为， ∵l1⊥l2， ∴，解得x＝6． 故选：C． 【跟踪训练】已知直线l1：ax+2y+6＝0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0垂直，则实数a的值为 　　． 解：由于直线l1：ax+2y+6＝0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0垂直， 故a+2（a﹣1）＝0，解得a＝． 故答案为：． 考点5 几何图形特征的应用 【例5】已知直角三角形ABC的直角顶点C（1，1），点A（﹣2，3），B（0，y），则y＝　　． 解：KAC＝＝﹣；KBC＝＝1﹣y， ∵∠C＝90°，∴（﹣）（1﹣y）＝﹣1⇒y＝﹣． 故答案是﹣ 【跟踪训练】已知A（﹣1，1）、B（3，1）、C（1，3），则△ABC的BC边上的高所在直线方程为　 　． 解：BC边上的高所在直线过点A（﹣1，1），斜率为＝＝1，由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为 y﹣1＝x+1，即 x﹣y+2＝0， 故答案为：x﹣y+2＝0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究