课时2.1.1倾斜角与斜率（考点讲解+同步练习）-2023-2024学年高二数学教材配套全讲与精练（人教A版2019选修第一册）

课时2.1.1 倾斜角与斜率 本节预览 01知识点梳理 知识点1 直线的倾斜角 1.直线倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2.倾斜角的取值范围 当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°． 如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角． 3.直线的确定： 在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可． 4.倾斜角与倾斜程度： 平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度． 知识点2 直线的斜率 1.斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即． 注：倾斜角是90°的直线没有斜率． 过两点的直线的斜率公式 1.1公式 经过两点的直线的斜率公式为． 1.2公式的推导 如图（1），（2），设直线的倾斜角为α（α≠90°），当直线的方向（即从指向的方向）向上时，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两条直线相交于点Q，于是点Q的坐标为． 如图（1），当α为锐角时，． 在中，． 如图（2），当α为钝角时，α=180°−θ（设），．． 在中，， 于是可得，即． 同样，当直线的方向向上时，如图（3），（4），也有，即． 综上所述，经过两点的直线的斜率公式为． 知识点3 倾斜角与斜率的关系 1.斜率与倾斜角之间的关系 当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴平行中重合； 当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着增大； 当α=90°时，斜率k不存在（此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； 当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着增大． 2直线的倾斜程度 （1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度． （2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度． 知识点4 直线的斜率与直线的方向向量 若直线 的斜率为 它的一个方向向量的坐标为 ，则 . 若直线 的斜率为 且直线过两点 ，它的一个方向向量的坐标为，则. 02考点解读 考点1 求直线的倾斜角 【例1】经过A（﹣1，3），B（，﹣）两点的直线的倾斜角是（　　） A．45° B．60° C．90° D．120° 解：经过A（﹣1，3），B（，﹣）两点的直线的斜率为， 因为直线的倾斜角大于等于0°小于180°， 故经过A（﹣1，3），B（，﹣）两点的直线的倾斜角是120°． 故选：D． 【跟踪训练】直线x﹣y﹣＝0的倾斜角是（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 解：直线x﹣y﹣＝0的斜率为： 倾斜角是α，则tanα＝， 可得α＝30°． 故选：A． 考点2 直线的斜率 【例2】在等差数列{an}中，a2＝3，a6＝11，直线l过点M（m，am），N（n，an）（m≠n，m，n∈N*），则直线l的斜率为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 解：直线l过点M（m，am），N（n，an）（m≠n，m，n∈N*）， 则直线l的斜率为． 故选：A． 【跟踪训练】已知A（3，2），B（﹣4，1），则直线AB的斜率为（　　） A． B． C．﹣7 D．7 解：根据题意，因为A（3，2），B（﹣4，1）， 所以线AB的斜率为． 故选：B． 考点3 直线的倾斜角和斜率的综合应用 【例3】经过点P（0，﹣1）作直线l，且直线l与连接点A（1，﹣2），B（2，1）的线段没有公共点，求直线l的倾斜角α和斜率k的取值范围． 解：∵，， 由l与线段AB相交， ∴kPA≤k≤kPB⇒﹣1≤k≤1， ∴0≤tanα≤1或﹣1≤tanα＜0， 由于y＝tanx在及均为增函数， ∴直线l的倾斜角α的范围为：． 故倾斜角的范围为，斜率k的范围是﹣1≤k≤1． ∵没有公共点， ∴直线l的倾斜角α和斜率k的取值范围分别为：（45°，135°）；{k|k＜﹣1或k＞1} 【跟踪训练】已知A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点． （1）求l的倾斜角α的取值范围； （2）求l的斜率k的取值范围． 解：（1）如图，当直线l过B时设直线l的倾斜角为α（0≤α＜π）， 则tanα＝，， 当直线l过A时设直线l的倾斜角为β（0≤β＜π）， 则tan，， ∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是； （2）由，可