2.1 直线的倾斜角与斜率A层讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1 直线的倾斜角与斜率 目 录 ☯知识清单☯ 1. 直线的倾斜角 - 1 - 2. 直线的斜率 - 2 - 3. 两点坐标求斜率 - 3 - ☯典型例题☯ 母题1：直线的倾斜角 - 3 - 母题2：直线的斜率 - 5 - 2-1：直线的斜率与倾斜角的关系 - 5 - 2-2：直线的两点式斜率 - 7 - 2-3：直线的向量式斜率 - 8 - 2-4：由几何关系求倾斜角、斜率 - 9 - 2-5：直线斜率的含参问题 - 10 - 母题3：倾斜角和斜率的应用 - 12 - 3-1：三点共线问题 - 12 - 3-2：两直线平行问题 - 12 - 3-3：两直线垂直问题 - 13 - 2.1 直线的倾斜角与斜率 ☯知识清单☯ 1. 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。 规定 当直线与轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为。 记法 图示 范围 作用 （1）表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度； （2）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。 注：倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角。 并规定:与轴平行或重合的直线的倾斜角为。 2. 直线的斜率 （1）定义与表示 定义（为倾斜角） 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率 直线斜率不存在 记法 常用小写字母表示，即 范围 作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度 （2）斜率与倾斜角的对应情况如下表所示 斜率 不存在 倾斜角 由上表可见，当直线的斜率或斜率不存在时，其倾斜角均是特殊角。 3. 两点坐标求斜率 如果直线经过两点、，且，则直线的斜率公式为。 注： 1.运用公式的前提是，即直线不与轴垂直。 2.斜率公式与，在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的。 3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成，即下标的顺序一致。 ☯典型例题☯ 母题1：直线的倾斜角 1. 直线倾斜角的概念 当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°。因此,直线的倾斜角的取值范围为。 2. 直线倾斜角的注意点 （1）求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论。 （2）注意倾斜角的范围。 3. 求直线倾斜角的方法及关注点 1. 直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2. 下列图中表示直线倾斜角为(　　) 3. 如图所示，直线l的倾斜角为(　　) A．30°　　　　　B．60° C．120° D．以上都不对 4. 已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α满足的条件是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° 5. 已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________. 6. 如图，直线l的倾斜角为（　　）    A．60° B．120° C．30° D．150° 母题2：直线的斜率 2-1：直线的斜率与倾斜角的关系 1. 下列命题正确的是（   ） ①直线倾斜角的范围是；②若直线的斜率为k，则；③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率． A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 2. （多选）在下列四个命题中，错误的有（　　） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 3. 直线x＝1的倾斜角和斜率分别是（ ） A．45°，1 B．135°，－1 C．90°，不存在 D．180°，不存在 4. 直线的倾斜角和斜率分别是（   ） A．， B．、 C．，不存在 D．不存在，不存在 5. 如图，直线l的斜率是（   ） A． B． C． D． 6. 直线，，的斜率分别为2，1，，倾斜角分别为，，，则（    ） A． B． C